Vc~ V ; Va~ V ~Vc- [1.6.1]

Из определения среднего следует, что среднее значение переменной составляющей равно нулю. Полную мощность можно вычислить по постоянной и переменной составляющим. Так как

V V+V>TO

с с a a} Поскольку среднее от суммы равно сумме средних, то получаем:

v = Vc + vl, [1.6.3]

Т. е. средняя мощность любого сигнала равна сумме средних мощностей постоянной и переменной составляющих.

Рассмотрим некий случайный сигнал v(t), имеющий распределение плотности вероятности Р(у)- Отклонение от среднего:

Vd = V-V. [1.6.4]

Так как среднее значение у = О, то средний квадрат сигнала

у2= jP(v)(v +v) v = (v)4v. [1.6.5]

Средний квадрат сигнала равен квадрату его среднего значения плюс средний квадрат отклонения.

У стационарных случайных процессов плотность вероятности

P(v) не зависит от времени, поэтому V и являются

эквивалентами соответственно v и .

Вычислим среднюю мощность стационарного случайного процесса для частного, но очень важного случая нормального (гауссова) распределения плотности вероятности:

[1.6.6]

Такое распределение имеет, например, напряжение тепловых шумов.

Запись содержит параметр сг, называемый стандартным отклонением распределения, а коэффициент перед экспонентой выбран так, чтобы интеграл от P(v) по всем возможным значениям сигнала был равен единице.

Распределение в таком виде симметрично относительно нуля, так

что среднее значение V = О и V = Vq. Если сигнал имеет ненулевой средний уровень, то это приведет лишь к тому, что средний квадрат возрастет на (v ). Дифференцируя P(v) дважды, получим:

d Pa

Г \2 V

Так как

\-dv= о.

то получаем соотношение:

+00 +о0

2 1. 2

[1.6.7]

[1.6.8]

Ip vv = 2 \Plv)dv = V , [1.6.9]

2 2

что эквивалентно равенству у ~ (дисперсия).

У стационарного случайного процесса с нормальным распределением амплитуд средняя мощность переменной составляющей равна квадрату стандартного отклонения, называемому дисперсией нормального распределения.

1. 7. Четная и нечетная составляющие

Четная и нечетная составляющие определяются уравнениями:

Ve(t) = l/2{v(t) + v(-t)] = Ve(-0, [1.7.1]

v,(t) = l/2[v(t) - v(-t)] - - vo(-t), [1.7.2]

так что V = Vg + Vf,. [1-7.3]

Четная и нечетная составляющие в общем случае изменяются при сдвиге начала координат. Площадь под кривой нечетной составляющей импульсного сигнала тождественно равна нулю:

jvdt = О, следовательно, ~

Таким образом, среднее значение сигнала равно среднему значению его четной составляющей V = v g. Средняя мощность сигнала по определению

V = (ve + 2veVo + Vo)-Второй член в правой части является нечетной функцией, поэтому

V = vl + vl. jl.7.4]

Средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей его четной и нечетной составляющих. То же справедливо для энергии импульсного сигнала.

7.5. Действительная и мнимая составляющие

Сигнал, мгновенное значение которого является комплексной величиной, описывается суммой действительной и мнимой составляющих:

v = v+yv., (/ = -!) П-8.1]

Сигнал V* = - JV- называется комплексно-сопряженным с V.

Очевидно, что = -I- V j и V- = ~ [1-8.2]

Квадрат мгновенной величины сигнала (квадрат модуля)

vf = v2+v?=vv*, [1.8.3]

таким образом, мощность комплексного сигнала равна сумме мощностей действительной и мнимой составляющих.