Рассмотрим одно важное свойство корреляционной функции которое очень полезно для ее вычисления по параметрам

исходных сигналов V, и v,

Обозначим V.;f>{ryr- fril.6]

Ввиду равенства двух интегралов [1.10.3] в определении взаимной корреляционной функции, дифференцирование или интегрирование функции по Т можно провести путем

дифференцирования или интегрирования функций V, или под знаком интеграла:

<12(О = (-0*1у,(ОМ*>(/-г)]= vl*>(/ + r)[v2(0]Vr [П1.7]

[П1.8]

Аналогичную запись можно сделать и в случае интегрирования. Таким образом, взаимная корреляционная функция не изменится (с точностью до знака), если в подынтегральном выражении Vj проинтегрировать, а Vj продифференцировать (или наоборот) несколько раз.

На рисунке П1.3 показано, как можно применять это свойство корреляционных функций.

Производная от Vj состоит из трех линейных импульсов (а, б, в) с площадями, равными величине перепадов функции Vj . Каждый из них совместно с V, порождает свою взаимную 80

корреляционную функцию Ц1дЦ/\ьЦ\с- сумма (нижний

рисунок) равна производной с обратным знаком от

Таким образом, процедура нахождения взаимной корреляционной функции двух сигналов заметно упрощается, если один из них путем одного или нескольких дифференцирований приводится к ряду линейных импульсов. Для этого сигнал можно аппроксимировать ломаной линией, тогда вторая производная будет набором линейных импульсов.

Пршожение 2

Некоторые основные свойства рядов Фурье

Ниже приводятся наиболее важные соотнощения, которые непосредственно следуют из [1.13.4] и [1.13.6] при обычных допущениях о сходимости, дифференцрфуемости и интегррфуе-мости.

Обозначим двойной стрелкой прямое и обратное Фурье-преобразование периодического сигнала v(t)<-*¥ [П2.1]

Пусть теперь имеется другой сигнал wit) с тем же периодом и

коэффициентами ряда W . Тогда можно записать:

наложение- av{t)+bw{t) ау + bW [П2.2]

перемена знака - v{-t) V ; [П2.3]

задержка- v(?-?o) < Fe - ; [П2.4]

модуляция - vCOe ®! Vn [П2.5]

дифференцирование - djt) / U . [П2.6]

JCOr,

интегрирование -

корреляция- v{t)w*it-T)<r>V W* ; [П2.8] свертка - v{t)w{T-1) VnW[П2.9]

умножение- v(t)w(t)Y.ViWi-n [П2.10] умножение сопряженных функций -

Как видно из приведенных соотношений, существует взаимное соответствие между парами операций: задержки и модуляции, корреляции и умножения сопряженных функций, свертки и умножения.

Это является следствием того, что преобразование <-> по существу выражает поворот координат , поэтому преобразование в одном направлении должно иметь, в основном, те же свойства, что и преобразование в обратном направлении.