Пршожение 3 Спектры некоторых сигналов

Сопоставление спектров

Ниже на рисунках приводится сводка различных преобразований. Двойными стрелками обозначены обратимые, а одиночными -

- необратимые преобразования.

Имеется два пути от импульсного сигнала V(t) (рис. П3.1) к его спектру плотности энергии Ч(й)), один - через спектр сигнала к квадрату его модуля, другой - через автокорреляционную функцию к её Pj fl3 1 преобразованию Фурье.

На рис. ИЗ.2 приведена соответствующая диаграмма для периодических сигналов. Заметим, что спектр плотности мощности Ф(й)) не равен квадрату модуля спектра мощности, но площадь каждого импульса в спектре ф{со) равна квадрату площади соответствующего импульса в спектре У(а)).

V(/)

> V или V{(o)

У - периодическая функция

, - линейные импульсы V{(o)

() - периодическая функция {coi) - линейные импульсы

или Ф(со)

Рис. П3.2

Для случайных сигналов, происходящих от стационарных случайных процессов, имеется только один удобный путь от сигнала v(/) к его спектру плотности мощности (рис. ПЗ.З).

Щ) - стационарный случайный процесс V((o) - не определено

<Р() - импульс Ф(а>) - импульс

(р{т) <->Ф{(0) Рис. ПЗ.З

Размерности сигналов

(0 V - в (вольт на 1 ом), V{u}) - в/гц = в-сек,

Щт) - дж (в.сек/ом), Ч(СО) = \V{q)f- дж-сек,

<р{т), Ф - вт (в/ом), Ф(о)) - вт/гц = дж.

Гауссов импульс

В качестве первого примера рассмотрим гауссов импульс. Как уже отмечалось ранее, автокорреляционная функция гауссова сигнала имеет также гауссов вид, следовательно, его спектр представляет также гауссову кривую. Инвариантность гауссова сигнала при преобразованиях Фурье заслуживает более подробного рассмотрения.

Найдем условия, при которых функция является своим собственным преобразованием. Вспомним, что

at dco

Следовательно, если dv [ГО .2]

dt ~

то на основании симметрии dV{a)) у} -З

то есть сигнал и его преобразование представляют одну и ту же функцию. Разделяя переменные в [ИЗ .2], получим dVjco) ,

откуда следует, что /у = ± - . -4]

Решение со знаком плюс следует отбросить, т. к. при этом получается сигнал, не допускающий преобразования. Таким образом,

v(r) = e(-и У(й)) = Ке~\ [П3.5]

где К - постоянный коэффициент.

Для определения К нужно воспользоваться равенством энергии сигнала и его спектра

Ъасо- [Го.6]

В силу тождественности подынтегральных выражений получаем

Ки g(-V2)/ 4{-VW. [П3.7]

Довольно просто можно показать, что при изменении масштаба справедливо

v[tla)aV((m). [П3.8]

В результате, между гауссовым сигналом, его спектром, корреляционной функцией и спектром корреляционной функции имеют место соотношения, проиллюстрированные на рис. П3.4, (а - г).

-00 - 00 - 00

Площадь под кривой = А

Площадь под

Площадь под

Рис П3,4

Площадь под

- а 72 j/aj2

Положение масштабного параметра а показывает, что ширина спектра обратно пропорциональна длительности импульса. Это общее свойство особенно наглядно проявляется в предельных