Главная >  Периодические сигналы 

1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1.9. Сравнение сигналов

Выше было показано, что при определенном выборе составляющих сигнала его энергия или мощность равны энергии или мощности его составляющих. Напрашивается аналогия с геометрическим представлением векторов в прямоугольной системе координат, когда квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проеышй, которые можно считать составляющими вектора. Этой аналогией мы и воспользуемся.

Для двух векторов у] и у2 ° РД прямоугольной системе координат, ответ на вопрос: какая часть вектора yj лежит на направлении вектора у2, состоит в том, что эта часть равна проекции вектора yj на линию у. Пусть эта проекция

равна C12V2 С\2 - скалярный множитель, величина которого выбирается из условия минимальной длины разностного вектора Г = у J - V2 - - ° должен совпадать с перпендикуляром, опущенным из конца вектора у на линию у 2 (быть ортогональным к У2). Таким образом, векторы C12V2 Г являются проекциями вектора у в новой системе координат.

Аналитически задача сводится к нахождению минимума функции путем вариации параметра С[2 - Квадрат длины разностного вектора

Г равен сумме квадратов длин его ортогональных

составляющих, или просто его проекций, в исходной системе координат Х,у:

=(vu-.2V2j + (v -C,2V2j- [l-U

Условие минимальной длины разностного вектора определяется из уравнения:



T-l(vu-c,2V2.) = 0, [1-9-2] dcn к

[1.9.3]

ViiV2t V1V2

откуда получаем: =-j- ~ ~-2

Сумма в числителе есть скалярное произведение двух векторов, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Знаменатель равен квадрату модуля длины вектора Таким образом, полученная формула позволяет вычислить проекцию вектора у J на направление V2

Другими словами, С12 V2 тъ часть вектора у .,заклютнная в VI. Аналогичным образом можно найти коэффициент

V1V2 Vl

21 =

Очевидно, что

2 2

[1.9.4]

[1.9.5]

Коэффициент С = С12С21 = С08{утоп между векторами) является удобной мерой их сходства. Квадрат длины суммарного вектора :

=(vi + V2 ) +(v + V2b) = j

+ C,2

+ C2,

Отметим, что нулевая величина любого из коэффициентов (С

или ) автоматически означает нулевое значение другого и

соответствует ортогональности векторов.

Применительно к электрическим сигналам сказанное выше означает, что для ортогональных сигналов суммарная мощность равна сумме их мощностей и такие сигналы являются полностью



независимыми. То же самое в полной мере относится и к ортогональным составляющим любого сложного сигнала. Таким образом, рассмотренные выще составляющие - постоянная и переменная, четная и нечетная, действительная и мнимая и т. д. являются ортогональными.

Для двух сигналов уи аналогии с векторами, можно

определить коэффициенты, называемые коэффициентами корреляции:

Сп =

V1V2

С21 - г 2

[1.9.7]

Коэффициент корреляции характеризует степень подобия сигналов и показывает, какую часть одного сигнала следует изъять из другого, чтобы, по аналогии с минимальной длиной разностного

вектора, остаток (Vj - CVj) имел минимальную энергию.

Равенство нулю коэффициента корреляции, естественно, означает ортогональность сигналов. При положительной корреляции энергия суммарного сигнала больше, а при отрицательной - меньше суммы энергий составляющих.

Полученные соотношения можно распространить на комплексные сигналы. Для этого рассмотрим выражение для квадрата модуля разностного комплексного сигнала:

Vi-C,2V2

-(v,-C,2V:

V2JU \ с xiV 2

После несложных преобразований получаем:

V, - C12V2

dt\v\ dt-2Re

1*2 lviV*dt

[1.9.8]

[1.9.9]

J1V2

Представим средний интеграл Ci2 виде:

v,v* = A и ё,2 -

[1.9.10]



1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34