Главная
>
Периодические сигналы 1.9. Сравнение сигналов Выше было показано, что при определенном выборе составляющих сигнала его энергия или мощность равны энергии или мощности его составляющих. Напрашивается аналогия с геометрическим представлением векторов в прямоугольной системе координат, когда квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проеышй, которые можно считать составляющими вектора. Этой аналогией мы и воспользуемся. Для двух векторов у] и у2 ° РД прямоугольной системе координат, ответ на вопрос: какая часть вектора yj лежит на направлении вектора у2, состоит в том, что эта часть равна проекции вектора yj на линию у. Пусть эта проекция равна C12V2 С\2 - скалярный множитель, величина которого выбирается из условия минимальной длины разностного вектора Г = у J - V2 - - ° должен совпадать с перпендикуляром, опущенным из конца вектора у на линию у 2 (быть ортогональным к У2). Таким образом, векторы C12V2 Г являются проекциями вектора у в новой системе координат. Аналитически задача сводится к нахождению минимума функции путем вариации параметра С[2 - Квадрат длины разностного вектора Г равен сумме квадратов длин его ортогональных составляющих, или просто его проекций, в исходной системе координат Х,у: =(vu-.2V2j + (v -C,2V2j- [l-U Условие минимальной длины разностного вектора определяется из уравнения: T-l(vu-c,2V2.) = 0, [1-9-2] dcn к [1.9.3] ViiV2t V1V2 откуда получаем: =-j- ~ ~-2 Сумма в числителе есть скалярное произведение двух векторов, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Знаменатель равен квадрату модуля длины вектора Таким образом, полученная формула позволяет вычислить проекцию вектора у J на направление V2 Другими словами, С12 V2 тъ часть вектора у .,заклютнная в VI. Аналогичным образом можно найти коэффициент V1V2 Vl 21 = Очевидно, что 2 2 [1.9.4] [1.9.5] Коэффициент С = С12С21 = С08{утоп между векторами) является удобной мерой их сходства. Квадрат длины суммарного вектора : =(vi + V2 ) +(v + V2b) = j
Отметим, что нулевая величина любого из коэффициентов (С или ) автоматически означает нулевое значение другого и соответствует ортогональности векторов. Применительно к электрическим сигналам сказанное выше означает, что для ортогональных сигналов суммарная мощность равна сумме их мощностей и такие сигналы являются полностью независимыми. То же самое в полной мере относится и к ортогональным составляющим любого сложного сигнала. Таким образом, рассмотренные выще составляющие - постоянная и переменная, четная и нечетная, действительная и мнимая и т. д. являются ортогональными. Для двух сигналов уи аналогии с векторами, можно определить коэффициенты, называемые коэффициентами корреляции: Сп = V1V2 С21 - г 2 [1.9.7] Коэффициент корреляции характеризует степень подобия сигналов и показывает, какую часть одного сигнала следует изъять из другого, чтобы, по аналогии с минимальной длиной разностного вектора, остаток (Vj - CVj) имел минимальную энергию. Равенство нулю коэффициента корреляции, естественно, означает ортогональность сигналов. При положительной корреляции энергия суммарного сигнала больше, а при отрицательной - меньше суммы энергий составляющих. Полученные соотношения можно распространить на комплексные сигналы. Для этого рассмотрим выражение для квадрата модуля разностного комплексного сигнала: Vi-C,2V2 -(v,-C,2V: V2JU \ с xiV 2 После несложных преобразований получаем: V, - C12V2 dt\v\ dt-2Re 1*2 lviV*dt [1.9.8] [1.9.9]
Представим средний интеграл Ci2 виде: v,v* = A и ё,2 - [1.9.10]
|