V и Vi =

г - 2 2

а + (О

- (О

[П3.20]

Ниже на рис. ИЗ. 12 изображены различные спектры, относящиеся к экспоненциальному сигналу.

V(0 . -а,

Площадь ]м

Пяощадъ-12а --*т:

Рис. П3.12

♦ т

Периодическая последовательность экспоненциальных импульсов

В пределах одного периода периодическую последовательность экспоненциальных сигналов можно описать в виде

y(t) =

[П3.21]

Множитель перед экспонентой отражает наличие наложений сигналов, состоящее в том, что к моменту появления очередного сигнала хвост предыдущего сигнала имеет значение, отличное от нуля.

Вид спектра можно найти путем прямого вычисления

что с точностью до множителя 1/Т совпадает с [ПЗ .19].

Этот простой пример сам по себе вряд ли заслуживал бы отдельного рассмотрения, но на нём легко продемонстрировать вычислительный прием, который будет использован далее для описания случайных сигналов.

в Приложении 1 уже говорилось, что периодический сигнал можно рассматривать как корреляционную функцию импульсного сигнала v{t) и периодической последовательности линейных

импульсов Vjit) (рис. из.13, а, в).

v,(/)

V2(tX

*(а/2к

(0/2 п

(0/2 п

Рис. ПЗ.П

Пусть v,(0 = е , V2it) = Luo(t - пТ)

/з = -со

Спектры сигналов показаны, соответственно, на рис. ПЗ.П, б, г. На рис. ПЗ.П, д показана корреляционная функция сигналов V/(/) и V2(?) . По определению

¥n{T)=\v,{t)-V2{t-T)dt le-uoit - пТ- т) = le

п = тШ п - min

[из.23]

Здесь учтено, что функция щ (t - пТ - т) отлична от нуля только при t = nT+T- Необходимо сделать одно важное уточнение. Функция V/(/) определена для t>0, поэтому от величины г будет зависеть минимальное значение п.

П , >-Ы(Т/Т). [П3.24]

С учетом этого получаем

, 00

T - TInt{TlT)

- апТ

,-ат.

[П3.25]

действительно

где Т -TlnHtm. То есть у/{т)

представляет периодически повторяющиеся сигналы (см. [ П3.21]).

Из свойств преобразования Фурье следует, что спектр корреляционной функции двух вещественных сигналов равен произведению их спектров (рис. ПЗ.П, е).

Таким образом, если сигнал может быть представлен в виде корреляционной функции двух более простых сигналов, то его спектр равен произведению спектров этих сигналов.

Некоторые случайные сигналы конечной мощности и их спектры Рассмотрим периодическую

А51Т)р

последовательность прямоугольных сигналов, из которой сигналы выключаются случайно и независимо с вероятностью (1-р), таким образом, каждый импульс имеет вероятность появления р (рис. П3.14, а).

На рис. П3.14, б показана автокорреляционная функция сигнала. Её величина при г = О равна среднему квадрату сигнала, а т. к. можно ожидать в среднем р импульсов за период, то средняя мощность

сигнала равна А 5 р I Т.

При увеличении сдвига автокорреляционная функция уменьшается линейно. При сдвиге в один период происходит наложение сигнала и его сдвинутой копии. Произведение двух импульсов не равно нулю только в том случае, если появляются

Рис. ИЗ.14