Главная >  Периодические сигналы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34

оба импульса. Исходя из сделанного предположения, появление каждого сигнала не зависит от появления других, поэтому совпадение двух импульсов происходит с вероятностью .

При сдвиге на ±2Т, ±ЗТ картина будет повторяться, следовательно, вид корреляционной функции при сдвиге соответствует периодической составляющей сигнала; при т = О имеет место наложение периодической и случайной составляющих сигнала.

Для удобства анализа разделим автокорреляционную функцию на две части; (р{т) (рис. П3.15, а), отвечающую за случайную

составляющую процесса, и (г) (рис. П3.15, в), отвечающую за

его периодическую часть. На рис. П3.15, б и г показаны их спектры мощности.

Периодическая средняя мощность равна ,(0), а её доля от полной средней мощности (0) составляет р. При р ->1 эта доля

также стремится к единице, соответственно, случайная составляющая стремится к нулю. При малых р сигнал становится чисто случайным.

г\{А51Т)(1-р)р

-s S


{A8im-P)p

calln

Рис. П3.15


(A8nf

coIln

Рассмотрим важный частный случай (рис. П3.14, а), когда импульсы очень короткие и примыкают друг к другу.



Введем обозначения:

AS=a, р/Т = по, ST. [П3.26]

Мощность постоянной составляющей, выраженная через новые переменные

\-{ащ)\ [П3.27]

При одновременном стремлении Т, S, рк нулю при постоянных а и щ спектр периодической составляющей сигнала (рис. П3.15, г) сжимается к постоянной составляющей; спектр плотности мощности случайной составляющей становится равномерным, стремясь к величине

[П3.28]

В пределе сигнал и его спектр принимают формы, изображенные, соответственно, на рис. П3.16, а и б.

Фп( )

Плотность = По линейных импульсов/сек.

ml 27,

v,(0

Площадь ~ /

v(0 = ;(0

-a/2!z

а/2ж

<P(fi>)t

= ап а/2 у

Л о

ci>l2n

-а/2ж а/2ж

caj2n

Рис. П3.16

Линейные импульсы распределены по времени случайно и независимо, и сигнал имеет только два параметра: площадь а и среднюю плотность щ. Такой сигнал называется распределением линейных импульсов по закону Пуассона. Иногда его называют дробовым шумом по аналогии с направленным потоком электронов



в проводниках, вакуумных лампах и т. д.

Корреляционная функция пуассоновского распределения линейных импульсов и сигнала, изображенного на рис. П3.16, в, образуют случайный сигнал (рис. П3.16, д), стационарного процесса у которого спектр плотности мощности (рис. П3.16, е) равен произведению спектров на рис. ПЗ. 16, б и г.

Последнее утверждение следует из того, что сдектр корреляционной функции двух действительных сигналов равен произведению их спектров.

При уменьшении параметра а (рис. П3.16, в) флуктуации (переменные составляющие) сигнала на рис. П.3.16, д уменьшаются. Из спектра плотности мощности (рис. П.3.16, е). видно, что отношение мощностей переменной и постоянной составляющих равно a/2nQ, но это не дает информации о распределении величин сигнала.

Для выяснения этого вопроса упростим задачу - заменим экспоненциальный импульс (рис. П3.16, в) прямоугольным импульсом. Мгновенное значение сигнала на рис. П3.16, д будет определяться числом импульсов, попадающих в интервал, равный длине импульса. Следовательно, чтобы определить распределение величин сигналов, необходимо знать относительные вероятности попадания различного числа импульсов с пуассоновским распределением в заданный интервал времени. Эта вероятность

где p{t) - вероятность попадания п в интервал / при их средней

плотности (количество в единицу времени) щ. Наиболее вероятное значение п равно среднему их количеству в интервале /, т. е. щ t. Если количество импульсов в заданном интервале велико, то распределение [П3.29] приближается к нормальному (гауссову), становясь в пределе нормальной функцией плотности вероятности.

В нашем примере это означает, что если эффективная длительность прямоугольного импульса охватывает большое число линейных импульсов, то сигнал на рис. П.3.16, д должен иметь нормальное распределение амплитуд около некоторого ненулевого



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34