среднего значения:

p(v) = -exp

ч о- у

[ПЗ.ЗО]

где у = (anoY ~ мощность постоянной составляющей, [П3.31] =() ~ {ащ(х12 мощность переменной составляющей.

[П3.32]

Взаимная корреляция спектров

Выше было показано, что спектр корреляционной функции двух сигналов равен произведению их спектров. Можно показать, что обратное тоже справедливо: если сигнал представить в виде произведения двух более простых сигналов, то его спектр можно найти как корреляционную функцию спектров этих более простых сигналов.

Так, синусоида конечной длительности (рис. ПЗ.П, ж) может быть представлена как произведение синусоиды (рис. ПЗ.П, а) и прямоугольного импульса (рис. ПЗ.П, д), поэтому ее спектр (рис. ПЗ.П, з) можно получить, поместив копию спектра прямоугольного импульса (рис. ПЗ.П, е) на каждой частоте, содержащейся в спектре синусоиды (рис. ПЗ.П, б).

Аналогично спектр на рис. ПЗ.П, к представляет корреляцию, или свертку, спектров на рис. ПЗ.П, г и е. В данном случае корреляция и свертка равнозначны, т. к. сигналы действительные и четные.

При увеличении длины отрезка синусоиды ширина каждого из двух главных лепестков спектра уменьшается, поскольку, чем длиннее сигнал, тем уже интервал частот, охватываемый каждым его спектральным лепестком.

А []

I [I [I \)

V(co)

Рис. ПЗ.П

Теорема о дискретных выборках

Теорема о дискретных выборках, известная также как теорема Котельникова - Найквиста, следует из спектральной свертки и умножения сигналов. Пусть сигнал, изображенный на рис. П3.18, а, имеет спектр (рис. П3.18, б), содержащий очень мало энергии в области частот выше fa. Предположим далее, что сигнал умножается на периодическую последовательность линейных импульсов (рис. П3.18, в). Произведение Vs(t) называется выборочным дискретным сигналом, а частота fs=\IT - частотой выборки.

v(t)

V((o)

J I J I

V/m)

IT

-lT-2f

Рис. П3.18

Спектр выборочного сигнала показан на рис. П3.18, е.

Из рассмотрения спектра на рис. П3.18, е следует, что если отдельные спектральные импульсы не накладываются друг на друга (это выполняется при условии />2/ q), то спектр

выборочного дискретного сигнала содержит не меньше информации об исходном сигнале, чем исходный спектр на рис. П3.18, б.

В общем случае исходный спектр нельзя восстановить, если промежуток fs - 2fo отрицателен. Иначе говоря, чтобы сигнал можно было восстановить обычными средствами, его нужно выбирать по крайней мере дважды в течение каждого периода его наивысшей частотной составляющей:

Л.2/о. [ПЗ.ЗЗ]