Интеграл энергии разностного сигнала будет минимален при максимальном значении действительной части величины в скобках.

Это выполняется при ff - ff.B результате получаем:

dt. [1.9.11]

Минимум по абсолютной величине С, 2 находим обычным образом:

Умножив обе части равенства на , получим:

-С2Х =

[1.9.12]

tl.9.13]

1.10. Корреляционная функция

Всякий сигнал полностью коррелирован сам с собой, но можно ожидать, что степень корреляции будет меньше, если сравнивать сигнал с его копией, сдвинутой во времени.

Зависимость корреляции от этого сдвига характеризуется автокорреляционной функцией (АКФ) импульсного сигнала:

= lv(Ov*( - !)dt - \v{t + T)v*{t)dt. [1.10.1] При г = О значение автокорреляционной функции равно энергии

сигнала

[1.10.2]

Взаимная корреляционная функция двух сигналов определяется

12)= Jvi(0v2*(/ - T)dt = Jvi(r + T)vl{t)dt. [1.10.3]

Это определение справедливо, если хотя бы один сигнал является импульсным (конечной энергии). Заметим также, что при г = О

взаимная корреляционная функция равна интегралу в числителе выражения для коэффициента корреляции:

y/i0)=lf2dt. [1.10.4]

Аналогично [1.10.3] для можно записать:

= IV2(0V*(/ - T)dt = jv2it + T)V*{t)dt. [1.10.5] Очевидно, что у/(г) = частности.

У () = Гl(-)

[1.10.6]

Таким образом, автокорреляционная функция и сопряженная с ней симметричны, причем действительная часть является четной, а мнимая - нечетной функцией от г.

Определенные ранее коэффициенты корреляции связаны с корреляционными функциями простыми соотношениями:

Сп =

С2\ =

[1.10.7]

Площадь под кривой корреляционной функции

\y,{T)dT= /(/vj(0V2*( - T)dt)dT. [1.10.8]

Если V2() является сигналом конечной энергии (ограничен во времени), то интеграл по dr от -.{t - т) не зависит от t

\4,{T)dr = [\v,{t)dt][\v(t)dt)\ [110.9]

т.е. площадь под кривой корреляционной функции двух сигналов равна произведению площадей под функциями коррелируемых сигналов.

Если Vi(0 - сигнал конечной мощности, а yit) - конечной энергии, то интегрирование yit) можно заменить усреднением:

,2 = Vl(lv2(O0*-

1.11. Свертка

При анализе сигналов часто оказывается возможным представить сложный сигнал Уз в виде корреляционной функции двух более простых сигналов Vi и V2 В этом случае можно установить удобные соотношения между АКФ сигналов Vi, V2 и Уз

Для упрощения последующих записей введем обозначение:

/ -f\-t), [1.11.1]

что означает сопряженную симметрию по отношению к f{t). Операция свертки

+00 +00

v,®V2= Jvi(V2(r-u?= \y{)v{t-d [1.11.2]

- 00 -00

образует новую временную функцию из двух исходных. Очевидно, что

Vi®V2 = V2®Vi- [1-11-3]

Из [1.10.5] И [1.10.6] следует:

Vil Vi®Vi=yll> [1-11-4]

Обозначим как у/ автокорреляционную функцию у/ :

С учетом [1.11.5] yj2,i2 (vi®V2)®(v,®V2)- [1-11-7]

Так как операции свертки ассоциативны, то их можно проводить в любом порядке:

y,2,12 V,®V,)®(v2®V2) [1-11-8]

ЧТО эквивалентно: ш =ш ®ш -ш . [1.11.9]

12,12 П 22 1122