Следовательно, если сигнал y(t) - yfjO Р взаимной корреляционной функции сигналов уДО УгСО- о автокорреляционная функция Узз) равна взаимной корреляционной функции автокорреляционных функций сигналов V,(0 и УгСО-

Для сигналов конечной мощности интеграл для можно заменить средним значением (р, определяемым соотношением:

(p{t) = V{t)v*{t-T) - V{t + T)v\t) . [1.11.10]

Обе функции tp \i у/ называются корреляционными, но каждая имеет свою область применения. Соотношения, полученные для у/, справедливы и для (р после соответствующей замены интегралов на средние значения:

(0) =

(r) = <(-r),

02) =

1.11]

1.12]

1.13] 1.14] 1.15]

1.16]

1.17]

с(т) =---. [1.11.18]

(0)2(0)

1.12. Тригонометрический ряд Фурье для периодических сигналов

Преобразование Фурье является одним из способов разложения сигнала на ортогональные составляющие, в качестве которых в данном случае выступают синусоидальные колебания с различными частотами, в том числе с / = О (постоянная составляющая).

Для периодического сигнала с основным периодом Т можно

ожидать, что частоты составляющих / = -, где w = О, 1, 2 ., т. к.

лишь синусоиды с такими частотами являются периодическими в интервале Т. Синусоида с частотой f называется w-й гармоникой

сигнала; гармонику f называют основной гармоникой, т. к. она

имеет тот же период, что и сигнал. Нулевая гармоника равна среднему по времени значению сигнала, или постоянной составляющей.

Любые две синусоиды с неодинаковыми частотами являются ортогональным. Действительно:

coscot cosoyjt = sino)t sinwt =) О ии 0)ФСЭ, [1.12.1]

=} 1/2 при 0)=0) 5tO.

COSWt SmO).Jl = 0 при любых й>, и (Oj.

Ортогональность составляющих ряда Фурье означает, что при удалении из сигнала любой составляющей остальные не меняют своей величины, т. е. они независимы также, как независимы ортогональные составляющие пространственного вектора.

Периодический сигнал V{t) с периодом Т ортогонален ко всем

синусоидам за исключением синусоид с частотами <у =1пп1 Т. Таким образом,

v{t)cosa}t - v{t)sina)t =0 при со Ф со. [1.12.2]

Содержание гармоник в сигнале можно описать коэффициентами корреляции, обычно называемыми коэффициентами ряда Фурье:

а = = ~\v{t)coso} Jdt, [1.12.3]

cos со J °

v{i)sinG) t 2\ b = =-lvit)smcoJdt, [1.12.4]

sin CO J ° C=2nt) = l]v(t)dt. [1.12.5]

Здесь V(/), cosG) J: и a (как и sinco J и 6 ) имеют тот же смысл, что V и в [1.9.7]. Точно так же, как величина С. выражает составляющую сигнала V ajcoso)Jt и ijsincoj являются гармоническими составляющими сигнала V{t). Очевидно, что V(/) равен сумме (по п) этих составляющих. Для точного представления сигнала требуется бесконечное число гармоник, сумма конечного их числа называется конечным рядом Фурье и является аппроксимацией реального сигнала:

v(0 = - + Y[a coS(oj+ bjmcoJ) +£(t). [1.12.6]

Здесь £,{t) есть ошибка аппроксимации. Поскольку эта ошибка

является остатком после выделения ортогональных составляющих, то гармоники ортогональны к ошибке. Следовательно

Для данного к это наилучшая аппроксимация по среднему квадрату.

Более распространена следующая форма записи ряда Фурье: