Главная
>
Периодические сигналы V(0 = у + Zc COs{o)J -(p), [1.12.8] ,7=1 да o= o; c =ylal + bl; a = ccos(p; b=csin(p; (p =arctg--. Спектральные функции Спектральные функции периодического сигнала v{t) имеют вид: A.= - \v{t)coso} tdt; В, - -\v{t)sino) tdt [1.12.9] и связываются не с номером данной гармоники, а с её частотой. Амплитуды гармоник связаны со значением спектральных функций на частоте гармоник соотношениями: 2Л , 2л- aAj- =2nfAj-; b = -Bj-=27rfBj, [1.12.10] где /i = /4 Спектральные функции удобны тем, что их значения не зависят от периода сигнала. Если при неизменной форме сигнала V{t) изменять его период, то соотношение между амплитудами гармоник данных частот (не номеров!), если они существуют, остается неизменным. Абсолютная величина амплитуд гармоник при этом изменяется обратно пропорционально периоду сигнала. Для ряда [1.12.8] очевидно, что с-л]+вУ, c = 2Kfff. [1.12.11] Все сказанное об А и В справедливо и для С . Что касается bf Bf фазы, то (р =-arctg~ = arctg -. [1.12.12] 1.13. Экспоненциальный ряд Фурье Ряд Фурье можно представить в более компактном виде, если воспользоваться комплексной показательной функцией (формула Эйлера): eJt cosat + jsinat. [1.13.1] Так как среднее значение q [1.13.2] ОприсоФО то, следовательно, две комплексные показательные функции ортогональны, если их частоты неодинаковы: I при со - со. [1.13.3] V ) [ОпщсоФсо Следует также иметь в виду, что комплексные показательные функции с частотами + со и -со ортогональны, в то время как sinco t (как и COS cot) не ортогональна sin{-cot). Поэтому при разложении периодического сигнала по экспоненциальным гармоникам следует учитывать и отрицательные частоты, в противном случае выпадает половина гармоник и ряд будет неполным. Из [1.13.1] следует, что COScot = - следовательно, из [1.12.8]: j(o t -ja е +е 2 и=1 L 2. [1.13.4] Учитывая, что С=С ; <р= - ср \ со = - СО получаем: 2 п = -<л со . 11 [1.13.5] [a -Jb) [1.13.6] есть коэффициент корреляции (амплитуда) для экспоненциальной составляющей с частотой со = псо = 27Гп/Т : vn=T Hofcoo)/ - jsincoj)dt = - \v{t)eJ<ndt, [1.13.7] что, впрочем, прямо следует из [1.10.3], если положить Vi = v{t) и V2-e и, наконец, для мощности (см.[1.12.7]) имеем: 00 9 И=-оо [1.13.8] Автокорреляционная функция сигнала, представленного в виде ряда, записывается следующим образом: [1.13.9] При усреднении с учетом ортогональности составляющих большинство произведений исчезает и остается простое выражение: [1.13.10] Поскольку автокорреляционная функция периодического сигнала является периодической, то она может быть представлена в виде ряда <Р(г)= S Ф е [1.13.11] П--СС> с коэффициентами [1.13.12] [1.13.13] Из [1.13.10] и [1.13.11] следует, что ф = Таким образом, коэффициент Ф ряда Фурье для автокорреляционной функции сигнала V{t) равен средней
|