Главная >  Периодические сигналы 

1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

V(0 = у + Zc COs{o)J -(p), [1.12.8]

,7=1

да o= o; c =ylal + bl; a = ccos(p; b=csin(p;

(p =arctg--. Спектральные функции

Спектральные функции периодического сигнала v{t) имеют вид:

A.= - \v{t)coso} tdt; В, - -\v{t)sino) tdt [1.12.9]

и связываются не с номером данной гармоники, а с её частотой. Амплитуды гармоник связаны со значением спектральных функций на частоте гармоник соотношениями:

2Л , 2л-

aAj- =2nfAj-; b = -Bj-=27rfBj, [1.12.10]

где /i = /4

Спектральные функции удобны тем, что их значения не зависят от периода сигнала. Если при неизменной форме сигнала V{t) изменять его период, то соотношение между амплитудами гармоник данных частот (не номеров!), если они существуют, остается неизменным. Абсолютная величина амплитуд гармоник при этом изменяется обратно пропорционально периоду сигнала.

Для ряда [1.12.8] очевидно, что

с-л]+вУ, c = 2Kfff. [1.12.11]

Все сказанное об А и В справедливо и для С . Что касается

bf Bf

фазы, то (р =-arctg~ = arctg -. [1.12.12]



1.13. Экспоненциальный ряд Фурье

Ряд Фурье можно представить в более компактном виде, если воспользоваться комплексной показательной функцией (формула Эйлера):

eJt cosat + jsinat. [1.13.1]

Так как среднее значение q

[1.13.2]

ОприсоФО

то, следовательно, две комплексные показательные функции ортогональны, если их частоты неодинаковы:

I при со - со.

[1.13.3]

V ) [ОпщсоФсо

Следует также иметь в виду, что комплексные показательные функции с частотами + со и -со ортогональны, в то время как sinco t (как и COS cot) не ортогональна sin{-cot). Поэтому при разложении периодического сигнала по экспоненциальным гармоникам следует учитывать и отрицательные частоты, в противном случае выпадает половина гармоник и ряд будет неполным.

Из [1.13.1] следует, что COScot = - следовательно, из [1.12.8]:

j(o t -ja

е +е

2 и=1 L

2. [1.13.4]

Учитывая, что С=С ; <р= - ср \ со = - СО получаем:

2 п = -<л

со . 11

[1.13.5] [a -Jb) [1.13.6]



есть коэффициент корреляции (амплитуда) для экспоненциальной составляющей с частотой со = псо = 27Гп/Т :

vn=T Hofcoo)/ - jsincoj)dt = - \v{t)eJ<ndt, [1.13.7]

что, впрочем, прямо следует из [1.10.3], если положить Vi = v{t) и

V2-e и, наконец, для мощности (см.[1.12.7]) имеем:

00 9

И=-оо

[1.13.8]

Автокорреляционная функция сигнала, представленного в виде ряда, записывается следующим образом:

[1.13.9]

При усреднении с учетом ортогональности составляющих большинство произведений исчезает и остается простое выражение:

[1.13.10]

Поскольку автокорреляционная функция периодического сигнала является периодической, то она может быть представлена в виде ряда

<Р(г)= S Ф е [1.13.11]

П--СС>

с коэффициентами

[1.13.12] [1.13.13]

Из [1.13.10] и [1.13.11] следует, что ф =

Таким образом, коэффициент Ф ряда Фурье для автокорреляционной функции сигнала V{t) равен средней



1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34