мощности, переносимой п-й экспоненциальной гармоникой сигнала. При т = 0 выражение [1.13.11] сводится к сумме Ф .

Поскольку <р(0) равна средней мощности сигнала, выражение [1.13.11] означает, что мощность сигнала, как и следовало ожидать, равна сумме мощностей ортогональных составляющих.

/. 14. Интеграл Фурье для импульсного сигнала

Чтобы получить выражение интеграла Фурье для импульсного сигнала, будем исходить из выражений [1.13.6] и [1.13.7] для ряда Фурье:

v(0= S [~]v{t)e- dt\e . [1.14.1]

Пусть имеется сигнал, состоящий из неперекрывающихся импульсов длительностью S, следующих с периодом Т. С увеличением периода частота основной гармоники и, следовательно, интервал между соседними гармониками уменьшаются. Поэтому

1 Л), d&

Т 2п

стремится к

, а сумма - к интегралу:

v(0 =

Л dm °° d&

[1.14.2] [1.14.3]

-ooVO / 27Г оо

S оо

vit)=jvit)e~dt =

о -оо

функция V(a}) называется спектром сигнала и может быть интерпретирована как спектр плотности напряжения, имеющий размерность в сек = в I гц. Следовательно, площадь под кривой

V{(0) и осью частот имеет размерность напряжения. Импульсный сигнал имеет непрерывное распределение частотных составляющих, причем каждая из них бесконечно мала. В этом смысле составляющая на данной частоте О) имеет амплитуду

V{(jijd(0 1271, равную площади под кривой между частотами (о и ft) + dco .

По аналогии с [1.13.8] при нулевом значении ошибки можно записать:

V(co)

Ida 2ж

аиз [1.13.11] - [1.13.13] следует, что

Р(й>) =

[1.14.4]

[1.14.5]

[1.14.6] [1.14.7]

где Pico) представляет спектр плотности энергии сигнала.

Если разделить сигнал и экспоненциальную функцию в [1.14.3] на четную и нечетную части, то получим:

00 оо

V{o}) = 2\v{t)cos(otdt - j2Jy{t)sincotdt. [1.14.8] О О

Для действительного сигнала У{й)) = у {-£о). [1.14.9]

Покажем, что ряд Фурье можно трактовать как частный случай

интеграла Фурье. Это позволит единообразно трактовать

периодические и импульсные сигналы.

Выделим из периодического сигнала к периодов и будем считать

сигнал вне этого интервала равным нулю. Этому усеченному

сигналу будет соответствовать спектр:

V,{co)=Jv(t)e~J dt.

-кТ:2

[1.14.10]

При к = 1 имеем импульс, состоящий из одного периода. Интеграл [1.14.10] совпадает с интегралом в выражении [1.13.7] для

коэффициентов корреляции у . Обозначим как у коэффициент

корреляции при произвольной частоте (О , тогда

V(0}) = TV. [1.14.11]

При к > 1 интеграл [1.14.10] можно рассматривать как сумму к импульсных сигналов, каждый из которых имеет длительность Т и сдвинут на один период относительно смежных импульсов. Воспользовавшись формулой сдвига [П2.4] можно записать:

y{a)) = TV g-y> y, k = 2m + l. [1.14.12] п=~т

Заменяя ряд его суммой (сумма членов геометрической прогрессии), получаем:

sinikaT/l)

V,(co) = TV

[1.14.13]

sin(co Т/2)

На рис. 1 показан переход от непрерывного спектра одиночного импульса к дискретному спектру периодических сигналов путем добавления новых импульсов. На этих графиках Т/5 = 5, но качественно картина будет такой же при любой другой длительности или форме импульса.

Квадрат абсолютной величины V{a)) представляет собой спектр

плотности энергии импульсного сигнала. Квадрат линейного импульса имеет бесконечную площадь, поэтому спектр плотности энергии для периодического сигнала не имеет смысла, однако каждая гармоника периодического сигнала при бесконечной энергии имеет конечную мощность, поэтому спектр плотности мощности периодического сигнала должен состоять из импульсов конечной площади.