V(.)(0

V(3)(0

-► ,

V(5)(0 j±ill

5V(,/o>) ft .

периодическая функция

LI I 111

Vii - площадь К-ГО линейног%импульса

Рис. 1

1/T Шк/2л

<a/2n

Почти периодический сигнал можно представить с любой точностью в виде суммы двух или более рядов Фурье, следовательно, спектры плотности напряжения и плотности мощности почти периодического сигнала образуются наложением спектров периодических составляющих сигнала. Если построить почти периодический сигнал из большого числа очень малых периодических составляющих, периоды которых находятся в иррациональных отношениях, то соответствующий спектр плотности энергии будет состоять из сколь угодно плотно расположенных бесконечно малых линейных импульсов. Иначе говоря, спектр плотности энергии содержит некоторую мощность в каждом малом частотном интервале, поэтому его можно представить в виде непрерывного спектра. Почти периодический сигнал представляет переход между периодическими и случайными сигналами. Случайный сигнал, взятый из стационарного процесса, подобно периодическому сигналу характеризуется спектром плотности мощности, но спектр является непрерывным, а не дискретным.

2. Передача сигналов через линейные системы

Ранее были рассмотрены различные составляющие сигналов, в частности, было показано, что сигнал может быть описан либо как функция времени, либо как функция частоты. Эти два способа представления сигналов связаны интегралом Фурье.

В этой главе будет рассмотрен вопрос о трансформации временной функции сигнала при его прохождении через линейные системы передачи, являющиеся эквивалентами электронных цепей при малых сигналах.

2.1. Линейная передающая система

Линейной называется система, у которой реакция на сумму двух или более входных сигналов равна сумме реакций на каждый из входных сигналов, действующих раздельно. Таким образом, если fi(t) и g,(t) - два входных сигнала, а и g2(t) -

соответствующие выходные сигналы, то входной сигнал

V,(t) = af,(t) + bgi(t) создает выходной сигнал

V2(t) = af2(t) + bg2(t) для любых а я b. Очень часто система может давать выходной сигнал в отсутствие внешних воздействий, благодаря внутренним источникам энергии. Здесь мы имеем в виду только ту часть выходного сигнала, которая определяется внешним воздействием. Если внутренних источников нет, то такая система называется однородной, и далее, если это особо не оговорено, будут подразумеваться однородные системы.

Сингулярные сигналы

Для описания свойств линейных систем во временной области используется их реакция на входные сигналы специального вида -скачок напряжения (тока) и единичный импульс (сигнал с длительностью, стремящейся к нулю, и единичной площадью). В первом случае реакция системы (вьпсодной сигнал) называется переходной функцией F(t), во втором - импульсной характеристикой h(t).

На рис. 2.1 изображена простейшая линейная система , состоящая из идеальных генератора ступеньки напряжения и емкости. Требуется найти временную функцию тока в емкости.

Однако даже в таком простом случае возникает трудность, состоящая в том, что ток в цепи пропорционален производной

/ (t) = С, а производная не существует dt

при / = О, где ic(t) имеет разрыв. Но ток несомненно протекает, т. к. емкость заряжается, следовательно, математическое описание не 2 ] соответствует реальности.

Трудность возникла из-за идеализации элементов схемы и может быть устранена заменой разрыва функции коротким интервалом to быстрого, но имеющего конечную скорость линейного нарастания (рис. 2.2).

Производная в этом случае существу-- ет и имеет вид прямоугольного импульса длительностью h и амплитудой 1/to. С точностью до множителя С (величина

-( емкости) эта функция совпадает с фор-

0 мой тока в емкости. При Го -> О эта

функция приближается к линейному импульсу - очень короткому импульсу с конечной площадью. В данном случае эта площадь пропорциональна заряду (площадь под кривой тока), что соответствует физике процесса - изменение напряжения на ёмкости требует передачи ей определенного заряда.

Часто система генерирует выходной сигнал даже в отсутствие внешних (входных) воздействий, благодаря внутренним источникам энергии. В дальнейшем мы будем считать, что система не содержит внутренних источников.

Имеются две особенности, которые уместно подчеркнуть. Во-первых, если входное воздействие возникает в момент времени / = О, то импульсная характеристика (и переходная функция) равна нулю при отрицательном времени. Это свойство, называемое физической реализуемостью, означает, что нельзя создать систему.