Из равенства (8.11) следует, что в любой момент времени напряжение на конденсаторе уравновешивает падение напряжения на активном сопротивлении и эдс самоиндукции.

Подставляем в ур-ние (З.П) равенства:

С dt

di dq

dt dp

где q - мгновенное значение количества электричества на обкладках конденсатора.

Перенося все члены в левую часть и деля на L, получаем

i£. + I.il + L = 0. (9.П)

dt L dt LC

Полученное выражение есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без последнего члена.

Решение его, помещённое в конце настоящего параграфа, приводит к следующим приближённым формулам для определения и и i:

f; e- cosm ;, (Ю.И)

/ e- sinm (11.11)

Это типичные для затухающих колебаний выражения, определяющие мгновенные значения напряжения на конденсаторе и тока в контуре. В них U - начальная амплитуда напряжения на конденсаторе, а -начальная амплитуда тока в контуре,вы-числяемая по ф-ле (6.11); е~ - показательный множитель, учитывающий уменьшение (затухание) амплитуд со временем, в котором коэффициент

8 = ~ (12.11)

НОСИТ название коэффициента затухания. Наконец, cos и sinuio - функции, указывающие на периодические изменения напряжения и тока, в которых точное значение угловой частоты свободных колебаний определяется по формуле

1) За начало счёта времени принят момент, когда заряд на конденсаторе начинает уменьшаться Пол>чающееся при этом направление тока условно при-

нимаем за положительное, поэтому перед производной --- ставим минус.

Угловая частота физически может быть только действительным числом. Это будет при выполнении условия

>82 или г<2/-. (14.11>

Случаи = §2 и < 0, приводящие к частоте, равной

нулю и мнимой, не дают колебательного процесса. Эти случаи характеризуют апериодические процессы и интересуют радиотехнику в меньшей степени, вследствие чего их рассматривать не будем.

Выражения (10.11) и (П.II) позволяют заключить, что напряжение и ток изменяются по одинаковому закону затухающих колебаний, только изменения напряжения сдвинуты по фазе по отношению к изменениям тока на угол, близкий к 90 .

Следует отметить, что, строго говоря, рассмотренный процесс электрических колебаний непериодический, так как периодическим процессом называют такой, когда все значения функции, изображающей его, повторяются через период, чего при затухающих колебаниях нет. Но при мало.м о кривые напряжения или тока для каждых двух соседних периодов настолько мало отличны друг от друга, что приблизительно можно считать процесс периодическим.

Из ф-лы (13.11) вытекает, что угловая частота, а следовательно, циклическая частота и период свободных колебаний в реальном контуре зависят от активного сопротивления. Но так как обычно в контурах радиотехнических устройств выполняется неравенство 5, то величинсй 8 по сравнению с -- можно

пренебречь и для определения ш , fg и Tq свободных колебаний в реальном контуре пользоваться формулами, выведенными для идеального случая.

1 г 1

,1С- --о2 (15.11)

Изменения напряжения и тока со временем соответственно выражениям (10 11) и (П.И) показаны кривыми рис. 5a.II и 56.11, а изменения количества энергии в конденсаторе и катушке показаны кривыми рис. 5в II.

При колебательном процессе в любой момент времени сумма энергий: электрической W, магнитной и выделенной в виде тепла - постоянна

W + W + W, = постоянной величине. (16.11)

Это нетрудно доказать, воспользовавшись выражением (8.11). Умножая его на i н вспоминая, что

dq du

=~1Г~ dt

ыожем написать

du di

Си - +U - -f- у v = о dt at

V 2 + 2 )

+ <v =0.

Си li

Беря интеграл от этого выражения, получаем выражение - Н--+

2 rdt = постоянной величине, тож-

дественное выражению (16.11).

Итак, физически колебательный процесс в контуре следует ) ~7[7Л. ~~- , представлять себе как периодиче-

/ I/ \ --. окне преобразования энергии

электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки индуктивности и обратно. Если бы активное сопротивление контура г было равно нулю, т. е. потери отсутствовали (8 =0), то потенциальная энергия конденсатора целиком переходила бы в кинетическую энергию магнитного поля катушки и обратно. Амплитуда колебаний о контуре в этом случае оставалась бы постоянной. Фактически всегда есть потери (гфО), поэтому по мере расхода энергии амплитуда колебаний в контуре убывает по закону, выражаемому показательной (экспоненциальной) функцией е~° Колебания в контуре будут затухающими.

Рис. 5.п. Кривые, показывакщие для случая свободных колебаний в реальном контуре изменение со временем- а) напряжения на конденсаторе, б) тока в контуре, е) количества энергии в конденсаторе и катушке

Логарифмический декремент затухания

Причиной затухания электрических колебаний является превращение электрической энергии в тепло, выделяемое в активном сопротивлении проводов, потери в диэлектрике конденсатора и катушки и другие потери, учитываемые одним, объединяющим все потери в контуре, активным сопротивлением г.

Величина множителя е~, показывающего уменьшение амплитуды напряжения пли тока со временем, определяется временем

и коэффициентом затухания 8 =

Степень затухания колебаний принято характеризовать натуральным логарифмом отношения двух соседних амплитуд тока или напряжения (рис. 6.И), разделённых интервалом времени,