равным одному периоду. Обозначим через / - амплитуду тсжа для момента времени t и через Iij) - амплитуду тока для момента времени {t + T)\ тогда натуральный логарифм отношения соседних амплитуд, обозначаемый через & и называемый логарифмическим декрементом затухания, будет равен

о = 1п

г.-и

= 1П-

~Ч1 +Л

= оТ.

(17.11)

Наиболее часто применяемая формула для расчёта & получается после подстановки значений 8 и Г, выраженных через элементы контура

(18,11)

Из последнего выражения следует, что & увеличивается с увеличением г и С и уменьшается с увеличением L и что он зависит не столько от абсолютных значений L я С, сколько от соотношения между ними.

7 О/

Рис. 6 11. Кривая тока свободных колебаний в реально. контуре

Теоретически 9- может изменяться от нуля до бесконечности. Действительно,

а = 8Г=о - =--

беря предельное ус/ювие = 8, при котором колебания ста-

новятся апериодическими, и подставляя его в последнюю формулу, получим & = оо.

Практически измеряется обычно величинами, меньшими единицы. В зависимости от ч.исленного значения О колебания

5-624 65

сч-итаются слабо или сильно затухающими. На рис. 7.П для сравнения показаны колебания в контурах с различными значениями

Логарифмический декремент затухания является для данного контура постоянной величиной. Он легко определяется экспериментально и для контуров с малыми потерями имеет простой физический смысл. Действительно,

mt - Im{l + T) Ij,

= 1 е-=1-е-

Разлагая е в ряд е =1-- +--j-- И ограничиваясь вви-

II 2!

ду малости 1 первыми двумя членами разложения, получим

(I9.II)

Из этого выражения следует, что логарифмический декремент затухания показывает относительное уменьшение амплитуд тока, разделённых промежутком времени, равным периоду. Напри.мер, если &=0,01, то каждая следующая через период амплитуда тока меньше предыдущей на 1%.

Логарифмический декремент затухания характеризует также относительное количество энергии, теряемое в контуре за определённый промежуток времени. В самом деле, энергия, запасённая в катушке индуктивности, в момент, соответствующий амплитуде будет равна

Рис. 7.II. Кривые тока свободных колебаний в реальном контуре при разных значениях логарифмического декремента затухания

Если считать, что амплитуда колебания в течение последующего полупериода не изменялась, то расход энергии за эту половину периода будет равен

f 2

Тогда отношение W j. даст нам

отсюда

WW, (20.11)

т. е. логарифмический декремент затухания показывает, какая доля энергии, запасённой к данному моменту в контуре, теряется в нём в течение полупериода. Расход энергии за период приблизительно можно считать удвоенным.

Продолжительность процесса свободных

колебаний

Из ф-лы (11.И) следует, что в случае затухающих колебаний амплитуда тока, убывающая по показательному законуе~ ,асим птотически приближается к нулю и время, теоретически потребное для прекращения колебаний, равно бесконечности. Практически колебательный процесс считают законченным через некоторый промежуток времени (рис. 6.II), когда амплитуда тока умень-щится до некоторой /с-той доли от своего первоначального значения, т. е. когда удовлетворяется равенство / е =/с/ или 6° = -, откуда, логарифмируя, получаем

/ = J-ln-= 1п-. (21.11)

Полагая колебательный процесс законченным, когда амплитуда уменьшится до 10% от своей начальной величины, т. е. считая ; = 0,1, получаем продолжительность процесса свободных колебаний равной

= = 2,3 - . (22.11)

Очевидно, что для определения N числа колебаний, совершаемых за время t можно воспользоваться равенством t = TN, откуда

N = IfL=. (23.11)

Решение дифференциального ур-ния (9.И) Решение ур-ния (9.II) ищем в форме

q = Ae . (24.11)

Беря первую и вторую производные по времени от <? и подставляя их в ур-ние (9 И), получим

А е (т + Y-m-\- = 0. 5* 67