Так как А фО (если Л е *= О, q = Q, т. е. колебания отсутствуют), то +- +-0. (25.11)

Решение этого так называемого характеристического уравнения имеет два корня

.=п-±/(й:У гг =~±р. (26II)

Ввиду получения двух значений для т решение ур-ния (9.И) ищем в форме суммы двух частных интегралов

(7 = ie + 2 6 =- (27.11)

Подставляя в ур-ние (27.11) значенчя /п и 2 согласно ф-ле (26.11), получим

9 = e-(V- -3e-0- (2-

Преобразуем выражение для Р

? = - = i о. (29.П)

Принимая во внимание ф-лу (29.11) и формулу Эйлера e* °=cos ы(/±1 sinwo, преобразуем выражение (28.11)

q = е- {Ауё * -Ь ) = е [А (соз / i- i sin 0 +

-f Ла (cos - i sin /) 1 = e~ [{A + A) cos / + i (j - j) sin Ыо 1

Обозначая

(Л1 + Лз) = М и i (1 - Л2) = Л/,

получим

9 = е- (М cos ft>o sin о> )]. (30,11)

Для определения постоянных М w N воспользуемся начальными условиями. Если полученные равенства справедливы для любых моментов времени, то, следовательно, они справедливы и для момента t = 0; значения и, q и \ для этого момента известны, а именно, при / = О

= tm. 9 = Qrn i = О, Подставляя в выражение (30.11) значение / = 0 и q = Qm, получаем

M = Q . (31,11)

Для определения N продифференцируем выражение (30.1!)

i = - - =-[ е~ (- ыо М sin ft>o + о cos о + dt

+ (М cos о + yv sin ш ) е~ (- В)].

Вынося за скобку е и группируя члены, содержащие cos о/ и sinwgt, получим

i = е- [SM -о. Л)со5(.. / + (шоМ+BA/)sino.o/]. (32.11)

При t = О имеем i = 0. Следовательно,

0 = В М - м Л/,

откуда

iV = -Q . (33.11)

о о

Подставляя значения М из ур-ния (31.11) и iV из ур-ния (33.И) в выражение (30.11), будем иметь

(34.11)

= е Qmcos<0o-i- -Qmsinwo/.

Обычно для радиотехнических цепей справедливо неравенство --- > и,

следовательно, -- < 1. В таком случае вторым членом в скоСках правой части равенства (34.11) можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда получим

q ~ Q, e- cos >o/. (35.11)

Так как и=- и =- -- , то

(г (У e-°cos<Oo/. (10*. П)

Наконец, после подстановки в ф-лу (32.11) значений AJ и из равенств (31.11) и (33.11) нетрудно получить

или окончательно

i =/me~sina)o/, (11*.П)

величиной 1 пренебрегаем no сравнению с единицей, a величина < оСт*

1 (У,

L Р Л

§ 3.II. Вынужденные колебания в последовательном контуре в случае установившегося режима

О незатухающих колебаниях в контуре

Чтобы в контуре имели место незатухающие колебания, необходимо питать его от постороннего источника энергии. Последнее осуществляется включением генератора переменного тока после-

довательно (рис. 8.11) или параллельно (рис. la.III) относительно элементов контура. Оба способа включения имеют свои отличительные особенности. Разберём сначала первый способ.

Пусть источник синусоидальной эдс включён в цепь, составленную из последовательно соединённых индуктивности L, ёмкости С и активного сопротивления г. Внутреннее сопротивление источника эдс будем считать равным нулю. Рассматривая явления в контуре спустя некоторое время после момента включения, когда Рис. 8.II. Схема включе- процесс МОЖНО считать установившимся, ння эдс последовательно можем на основании второго закон Кирх-с элементами колебатель- рофа написать

ного контура -

£ = /r-l-/ix, (36.11)

где X = U) Ь--!--реактивное сопротивление цепи, / - ток в цепи,

u) с

а £ -напряжение источника эдс.

Определяя из выражения (36.11) ток /, получаем

7= - . (37.11)

Z=r + \x = r Л-\Ь- (38.11)

Эффективное (или амплитудное) значение тока равно

/ = 4, (39.11)

Z = /г -f х2 = +(u) L . (40.11)

Если эдс источника изменяется по закону е = Es\r\ св t, то мгновенное значение тока определяется соотношением

/ = sin (( ;-<?), (41.11)

где амплитуда тока определяется, согласно ф-ле (39. И), а со- угол сдвчга фаз между током и напряжением, определяемый из соотношения

ig=-=-(42.11)