Уменьшение же напряжения на элементе dy, обусловленное активным сопротивлением и сопротивлением индуктивности,

-dU, = Z,dyL,

(14.VI)

где Z, dy - полное сопротивление бесконечно малого участка dy.

На рис. 6aVI и 66.VI отмечены значения напряжения Uy и тока / у па расстоянии у от начала линии и значения напряжения и тока на расстоянии (y + dy) от начала линии, уменьшенные соответственно на величины dUy и dly.

Из ф-л (13.VI) и (14.VI) делением обеих частей равенств на dy получим

= Zjy.

(15.VI)

Дифференцируя последние равенства по у, будем иметь

dy

dy dy dy dy

Наконец, подставляя в последние выражения производные dy

и из ф-лы (15.VI), окончательно получим уравнения:

dy dy

= 2,Y,Uy

(16.VI)

Эти уравнения носят название телеграфных, так как они впервые были выведены при разработке теории телеграфной передачи по двухпроводной линии.

Решение телеграфных уравнений, приведённое петитом в конце настояшего параграфа, приводит к следующим выражениям для определения напряжения и тока в любой точке линии, находящейся на расстоянии у от её начала:

(17.VI)

в которых А я в определяются равенствами:

А = (t/i + p/i); B = --(t/i-p/i).

(18.VI)

где Ul я /i - напряжение и ток в начале линии, а р, называемое волновым сопротивлением линии, определяется, согласно выражению

(I9.VI)

Физический смысл параметра р такой же, как и р идеальной линии.

Параметр f, называемый постоянной распространения, вычисляется по формуле

7 = У,. (20. VI)

Сейчас остановим своё внимание только на основном явлении, происходящем в реальной линии при произвольной нагрузке.

Как следует из выражений (17.VI), напряжение и ток в любой точке реальной линии определяются двумя слагаемыми. Первые слагаемые убывают по мере удаления рассматриваемой точки от начала линии, так как с увеличением у множитель е-* убывает.

Вторые слагаемые, максимальные в конце линии (когда у наибольшее), уменьшаются прн уменьшении у, т. е. по мере приближения рассматриваемой точки к началу линии. П ервые слагаемые являются векторами напряжения Uj я тока /J так называемых падающих или прямых волн напряжения и тока

Un=Ae- ; 7 =-4-е- . (21.VI)

Вторые слагаемые являются векторами напряжения Uq и тока /о так называемых отражённых или обратных волн напряжения и тока

Z7o = Be~T; / = -е~ (22.VI)

Таким образом, напряжение и ток в любой точке реальной линии равны геометрической сумме соответственно напряжений и токов падающей и отражённой волп напряжения и тока.

Хотя такой способ определения напряжения и тока в любой точке линии соответствует истинному процессу, происходящему в лиции, для большей простоты математических выкладок при выводе формул, необходимых для более глубокого анализа процессов, происходящих в линиях, и получения простых конечных формул для технического расчёта линий, часто пользуются легко получаемыми из равенств (17.VI) и (18.VI) выражениями:

t7y=77ichYf/-F7ishff/, (23.VI)

7y = 7iCh£/--=JshYy. (24.VI)

Очень часто оказывается удобным вести рассуждения, определяя напряжение и ток в любой точке линии по заданным еа-пряжению Uz и току h в конце линии.

В этом случае выражения, определяющие напряжение и ток в любой точке линии, находящейся на расстоянии х от конца линии, принимают следующий вид:

UUchx + pIsh-iX, (25.VI)

ZTchxi- Hshfx. (26.VI)

Решение~телеграфных уравнений как и в случае дифференциальных уравнений замкнутого контура, ищем в экспоненциальной форме

Uy = Ai, (27.VI)

Различие состоит лишь в том, что в случае замкнутого контура фигурировала показательная функция е , а в данном случае ei , так как мы ищем закон измег1ения напряжения (и тока) вдоль линии.

Дважды дифференцируя выражение (27.VI), получим

dUy - Ту

= Ле ; -- = fAe-<y.

Подставляя последнее из полученных выражений, а также выражение (27.VI) во второе из ур-ний (16.VI) н сокращая на Ле , получим:

Т = ± Vz.Yi . (28.VI>

где Z/ и У; - комплексные числа, следовательно, -у, являющееся корнем характеристического уравнения, то е кгмплекснсе число. Поэтому, представляя-последнее в виде суммы действительней и мнимой частей, можем написать

f = ± (Р + i а). (29.VI).

Мы получили два значения 7 (со знаком плюс и минус); значит решение исследуемого дифференциального уравнения нужно искать в форме

Uy = A -f В е . (ЗО.У!)

Дифференцируя последнее равенство, получим

-Ле- -ЬВе *. (31.VI>

Далее из второго равенства (15.VI) следует, что

1 dU

h dy 220