Подставляя в последнее выражение ур-ние (31.VI), получим

Ъ= е-~! - В е~ . (32.VI)

Выражение

поэтому выражение (32. VD перепишется так

7, = -4- Л e-Tf 4- В . (33.VI)

Перейдём к определению постоянных интегрирования Л и В. Выражения для определения напряжения и тока справедливы для любого места линии, следовательно, они справедливы и для начала линии, где значения напряжения и тока бычно известны. При у = О имеем Uy = Ui и /у = 1ь тогда из ур-иий (30.yi) ц (33.VI) следует, что при у = 0:

(7i =- Л + В; p7i = А- В.

Складывая и вычитая последние равенства, получим постоянные Л и В, определяемые через напряжение и ток в начале линии и волновое сопротивление;

A = (U,+~?hy. B=((7i-7/i). (34.VI)

Подставляя полученные значения Л и В в выражении (30.VI) и (ЗЗЛ1), раскрывая скобки, произведя перегруппировку членов, вынося за скобки Ui и

J II в выражении для Uy, а также Ii и в выражении для /у, наконец, принимая во внимание формулы

у (е~° + e-7s) = chY (/ и (е - ~ Т.= Ъ

получим выражения (23.VI) и (24.VI).

Путём аналогичных рассуждений (при решении телеграфных уравнений, в которых у заменяется через л, и в равенствах (13.VI) и (14.VI) вместо минуса берётся плюс) нетрудно получить выражения (25.VI) и (26.VI).

§ 4.VI. Бегущие волны в реальной линии, нагруженной сопротивлением равным волновому

Предположим сначала, что мы имеем линию бесконечно большой длины {у = со).

Разделив ур-ние (24.VI) на ch у, имеем

ch 7 (/ р

Если у = оо, то chYi/= оо а ih у = 1, и из последнего выражения получаем: 0 = 71- Отсюда следует выражение для определения тока в начале бесконечно длинной линии

h=- (35.VI)

Подставляя последнее выражение в ф-лу (23.VI), вынося за

скобку Ui и принимая во внимание, что ch Y i/ - sh у у = е , получим

Uy = U,e- . (36.VI)

Подставляя в него значение Ui, согласно ф-ле (12.VI), и принимая во внимание, что f = Р + iможем привести выражение, определяющее Uy, к следующему виду:

Uy = Ux е-е

Переходя к тригонометрической форме), получим выражение для определения мгновенного значения напряжения в любой точке линии

Uy = их е cos (со / - а у). (37.VI)

Подставляя Ui из равенства (35.VI) в ур-ние (24.VI), аналогично будем иметь

Ту = Тх~ . (38.VI)

Далее также найдём

Следовательно, мгновенное значение тока в любой точке линии определяется выражением

I, =/ ie-Pcos(co/-at/). (39. VI)

Формулы (37.VI) и (39.VI) представляют собой типичные уравнения бегущих волн напряжения и тока. Они показывают, во-первых, что напряжение и ток изменяются вдоль бесконечно длинной линии с потерями по одинаковому закону; во-вторых, что в бесконечно длинной линии с потерями, так же, как в идеаль-

1) Для перехода к тригонометрической форме записи берём проекцию вектора иапряжения иа вещественную ось, т. е. берём действительную часть комплексного числа, изображающего Uy.

ной линии бесконечной длины, имеют место только волны, распространяющиеся от начала линии к концу, т. е. падающие или прямые бегущие волны напряжения и тока. Уравнения (37.VI) и (39.VI) отличаются от ур-ний (2.VI) и (3.VI) тем, что имеют в правой части множитель е ~. В этом множителе, учитывающем уменьшение амплитуд напряжения и тока с увеличением расстояния, коэффициент р называется постоянной затухания.

Для линий, обладающих малыми потерями (Р <С 1). постоянная затухания имеет простой физический смысл. Действительно, в некоторой точке линии, отстоящей от её начала на расстоя нии г/, амплитуда тока равна/my=/mie~. На расстоянии, большем у на единицу длины, амплитуда тока, очевидно, равна

Берём отношение

I ту

Подставим в него и / j и произведём деление

* my

Раскладывая e в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами разложения (что справедливо, еслиР< 1). имеем e~i;l-р. Поэтому окончательно получаем

Imy - I-rn{y+\) I ту

(40.VI)

Полученное равенство даёт право заключить, что постоянная затухания показывает относительное уменьшение амплитуды бегущей волны тока (или напряжения) на отрезке линии, равном единице длины.

В случае идеальной линии, т. е. линии без потерь, коэффициент р равен нулю, так как амплитуда напряжения и тока неизменны вдоль всей линии.

Далее напряжение и ток в любой точке линии, как на это указывает множитель cos (со -а у) в выражениях (37.VI) и (39.VI), изменяются во времени по гармоническому закону, но в каждой точке линии изменения напряжения и тока происходят с отставанием по фазе на угол а у относительно напряжения и тока в начале линии. Коэффициент а, являющийся углом отставания по фазе тока (или напряжения) на единицу длины линии, как уже говорилось в § 1.VI, называется постоянной сдвига фазы.

Отметим, что параметр f, заключающий в себе постоянные затухания и сдвига фазы и, следовательно, учитывающий изме-