лем, и обратная ей корреляционная матрица R~iil= Qjk. Причем алгоритм обращения корреляционной матрицы

где 5д - так называемый символ Кронекера, который равен 1 при j-k или О приJk.

Пусть последовательность выборочных значений {y{ti)it2)0h),--, y(Q}-{У\У2У2, Уn} образуст всктор у =Y. Совместные плотности распределения вероятностей выборочных значений можно представить в виде

M;(Y/e = 0) =

iv(Y/e = l)=-

(2;r) DetR I

J к

ехр-

(2-) DetR Найдем отнощение правдоподобия

A(Y) =

= exp

N N

H-(>o/e = l)

/=1 k = \

j=\ it=l

w{yJQ=0)

и перейдем к его логарифму для сравнения с порогом решения In Г:

Объединяя слагаемые этого выражения, не зависящие от Y, в пороговое напряжение Wnop, получаем алгоритм

/= *=

(3.17)

Если обозначеть Wj =Qu(/j), отождествляя W, с весовыми коэф-

фициентами фильтра, то алгоритм обнаружения становится более понятным:

2]w,y(/,.) >W op.

Перейдем к непрерывному времени: л-оо, At->dt, тогда плот-

ности распределения вероятностей переходят в гауссовы функционалы:

w(Y/e)-F(Y/e).

Для 9=0 и 9=1 эти функционалы выглядят следующим образом:

набл набл

Q(/h2)y(i)y(2H2

F(Y/0 = O) = ;toexp

F(r/e = l) = /roexp

нзбл

2 J

Q{M[y{ti)-uiti)][y{t2)-uit2)]dtdt2

о о

Уравнение обращения корреляционной матрицы становится интегральным:

R(t t)Qit,t2)dt = S(t,-t2),

при этом отнощение правдоподобия имеет вид F(y/9 = 1)

F(y/9 = 0)

на5.1 наб.!

= ехр

наб.!

Q(,2)y(M2)2--

0 0 0 0

Введем весовой коэффициент фильтра обработки W(/)=

наб.1

= I Q{t\J2)viitj)dt2 и получим алгоритм обнаружения

набл

w(oy(ry/: op-

Перейдем в частотную область, для чего применим преобразование Фурье к левой и правой частям уравнения фильтра обработки:

набл

W(/o-) j Q(/ 2) (0-2W2-

С использованием интеграла свертки получаем

со Г дй,

W(Oexp{-yfi;0/= J[ Q{t,t2) {t-ti)dh\M-Jo)t}dt = kUo)).

Полагая to-t2 = t, по теореме о спектре свертки имеем

Q(/ /2)uao-/22

exp{-ja;t}dt =

) -00

= P{j(o)txp{ - j(otQ}S* {jco), где 5*{j(o) = vi{t)txp{j(ot)dt.

(3.18)

Таким образом, k(Joi) = P(/(o)5*(/(o)exp{a)/o}-Вычисляя интеграл Фурье от уравнения обращения корреляционной матрицы, находим

P(/o))G(/o))=const,

гдеР(/о))= fQ( f2)exp{-yVy/2}/2;

GUco)= jR(/ /2)exp{-yVy/2}/2-

(3.19)

Решая уравнения (3.18) и (3.19) совместно и исключая P(Jo)), приходим к уравнению коэффициента передачи оптимального фильтра (устройства):

G(/(o)

. (3.20)

Ha рис. 3.22,a показана структурная схема такого обнаружителя. Он состоит из последовательно включенных обеляющего фильтра с коэффициентом передачи /гоб(/о))=-J. >, и фильтра, оптимального для

обнаружения сигнала на фоне обеленной помехи с коэффициентом передачи А:оптОй)=сехр{- jcoIq} . На рис. 3.22,6 показано прохожде-

ние спектральных составляющих через обеляющий фильтр. 72