Iim,

d\nW{ylQ)

(9.13)

9.4. Потенциальная точность измерений

Потенциальная точность измерений реализуется только с помощью устройств, использующих оптимальное правило оценки параметра. При этом достигается наименьшая погрешность измерений. Например, при байесовом правиле оценки - дисперсия ошибки

[5(>)-0f 1= [5(.v)-0]V(>/0)(0)>c/0 ,

а при небайесовых правилах - дисперсия ошибки

6(.v)-0

5(>)-0l W{yl(d)dy.

W{vlQ)W(Q)

По формуле Байеса fK(0 /у) = --- , поэтому

d\nW(Q/y) д

d\nW(y/@) д1пЖ(0)

п W(y / 0) + In Ж(0) - In JV{y) = 0.

д1пЖ(0)

Следовательно, если-= О, то

d\nW(Q/y) d\nW{y/Q)

dQ ~ dQ Таким образом, если количество информации об оцениваемом параметре 0 равно О, то байесова оценка по критерию максимума апостериорной вероятности и оценка максимального правдоподобия совпадают. Используя ОМП, потенциальную точность определим с помощью соотношения

(9.14)

При этом удобно учесть, что

\nW{y/Q)

\nfV(y/Q)

тогда

-lnF(v/0)

-1-1

Если, связав 1пЖ(>/0) с отношением правдоподобия Л(>/0), использовать запись с индикатором наличия и отсутствия сигнала © fV(y/©)

A(.v/0) =

Wiy/0)

то получим

1пЛ(>/0) = - \nW{y/©)-\nW{y/Q)

де де

Формула для определения сг имеет вид

\nw(y/e).

lnA(j/0)

(9.15)

9.5. Структура измерителей

В соответствии с (9.3), (9.4) и (9.6) структуры оптимальных несле-дящих измерителей параметров сигнала включают устройства формирования функции L(0), функции In 1(0) или формирователя функции

А(>/0) и устройства выбора (фиксации) максимума.

Обычно схема неследящих измерителей реализуется в виде многоканального устройства (рис. 9.1). Для этого диапазон измерения

®ntK ®nin разбиваем на под-

©ь©2,...©1...© ,

Л(у/(),)

л(у/),)

Л(у/11,)

Л(у/11, )

диапазоны

где т=-

е..-е

, а 5© - раз-

Рис. 9.1. Схема оптимального измерителя

решающая способность по параметру 0.

Структуру следящего оптимального измерителя можно представить в виде схемы рис. 9.2, которая содержит оптимальную схему обнаружения, формирующую отношение правдоподобия А(>/0),

дискриминатора и линейного инерционного фильтра, управляющего сигналом ошибки.

При оценке по максил1уму вероятности W{&/у) и 0 = ©, можно

по-прежнему использовать выходной эффект оптимальной системы ОС, так как в предположении F(©) = const, получаем F(0/j)-=constA(>/©).

Рис. 9.2. Структура следящего измерителя с дискриминатором

При унимодальности W(&/у) и его симметричности оценка получается несмещенной, а это обеспечивается лишь при больших отношениях сигнал/шум: с/= Р/Р>\.

Входное напряжение измерителя является сложной нелинейной функцией оцениваемого параметра y(t,&) = u(t,&)+ п((), где© = 0(/),

поэтому оптимальный измеритель относится к нелинейным фильтрам. Обычно для упрощения анализа линеаризуют задачу, считая г/ ! (это

обеспечивается при высокоточных намерениях). В случае гауссовых шумов параметры ©(/) сами становятся гауссовыми процессами со

средним значением, равным измеряемому параметру ©. Линеаризация состоит в формировании линейной функции малых отклонений измеряемого параметра ©-©(, (©о - опорное значение параметра, близкое к

истинному). Устройство, формирующее ©=©-©( называется дискриминатором (Д) (рис. 9.2).

Линейный фильтр (ЛФ) выдает оценку ©, равную математическому ожиданию©. Если задано или выбрано опорное значение параметра, близкое к истинному, то разлагая в ряд в окрестности этой точки In Л(>70) и ограничивая этот ряд тремя первыми членами, получаем

In \{у/©) In Л(з ©)в=во + (® -®о)In Л(>/©)в=в +

+1(©-©о)2

д©

lnA(j/©)e=e -

Подставляя это соотношение в уравнение для поиска максимума

находим