связанными с атомами. В данном случае в т1вердом теле образуются коллективные атомные орбиты (при этом одинаковые уровни энергии объединяются в общий уровень энергии всего кристалла). Ввиду того что электрон взаимодействует уже не с одним атомом /, а с большим числом атомов Ns, то все энергетические уровни несколько смещаются и расщепляются \в энергетическую зону кристалла (рис. 1.1). Энергетический спектр одиночного атома, имеющий линейчатую структуру (/ на рис. 1.1),

Запрещенная зона

Межатомное расстояние

Рис. 1.1. Расщепление энергетических уровней атома / в зоны при уменьшении межатомного расстояния (расстояния между соседними атомами) в твердом теле.

в твердом теле преобразуется в зонный спектр. Теоретически законы образования зонной структуры твердого тела могут быть получены из волнового уравнения Шредингера для кристалла.

Группу уровней энергии, интервалы между которыми почти неразличимы (порядка 10 эв), называют разрешенной зоной. Считается, что внутри этой зоны существует непрерывное распределение разрешенных энергетических состояний электронов (зоны р на рис. 1.1). Однако число возможных состояний в разрешенной зоне конечно и пропорционально числу атомов в кристалле.

Согласно принципу Паули это приводит к конечному числу энергетических состояний в данной зоне. Область энергии, не содержащую никаких энергетических состояний в реальном т1!ердом теле, называют .запрещенной зоной.

Если между свободной зоной возбужденных состояний и полностью заполненной валентной зоной твердого тела с идеальной решеткой имеется запрещенная зона конечной ширины, то при Г=0°К (и полном затемнении) вещество в таком состоянии я!вляется идеальным изолятором (диэлектриком), так как внешнее электрическое поле (меньшее пробивных значений) не приводит к перераспределению электронов для создания тока. Электропроводность отсутствует.

2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Необычное изменение теплоемкости и теплопроводности твердых тел, наступающее при низких температурах, представляет исключительно большой интерес для создания охлаждаемых элементов и радиоустройств. Поэтому рассмотрим эти свойства несколько подробнее.

Под теплоемкостью С принято понимать отношение изменения полной энергии килограмм-атома вещества при постоянном его объеме к изменению температуры:

dE 1

(1.2)

Средняя кинетическая энергия атома в твердом теле равна likT, где k - постоянная Больцмана, равная 1,38-10- эрг -град-К При этом атомы связаны с решеткой твердого тела и, находясь в положении устойчивого равновесия, совершают гармонические колебательные движения (осциллируют). Средняя потенциальная энергия каждого такого осциллятора равна его средней кинетической энергии, т. е. полная энергия каждого атома равна 3 kT. Тогда для килограмм-атома

Е = ЗЯТ и C, = 3R, (1.3)

где -газовая постоянная, равная 3317 дж/кг-атомХ Хград {илп 2 кал/моль - град).

Однако при низких температурах (много ниже комнатной температуры) положение коренным образом меняется и закон Дюлонга и Пти, выражаемый формулой (1.3), теряет свою силу. Дело в том, что при низких температурах основную роль начинают играть кванто-

вые процессы в твердом теле, в частности обусловленные квантованием энергии упругих волн в нем. Эти упругие волны имеют различные длины волн -от K = 2L до Х = 2а, где L - длина всего кристалла, а - постоянная решетки. Ввиду того что скорость упругих волн в твердом теле примерно равна скорости звука в нем, частоты V этих колебаний могут принимать самые различные значения. Значит, энергия упругих волн, определяемая величиной V, может меняться также в широких пределах. При низких температурах, где энергия теплового возбуждения (средняя кинетическая энергия атомов), равная 2 kT, очень мала, возбуждаются только те упругие волны, у которых уровни энергии различаются на малую величину hv (длинноволновые колебания), близкую к кТ. С увеличением температуры возбуждается все большее число волн с различной длиной и энергия килограмм-атома вещества возрастает, приводя к росту теплоемкости Cv.

При некоторой температуре б, называемой температурой Дебая, когда средняя энергия тепловых колебаний решетки в твердом теле станет равна энергии самых коротких упругих волн {hv велико), все атомы вещества практически перейдут в возбужденное состояние. При этом теплоемкость достигает своего обычного для комнатной температуры значения ЗЯ.

Температура Дебая различна для разных твердых тел и может быть определена по формуле

6=-, (1.4)

где Vm - частота упругой волны наименьшей длины, зависящая от межатомного расстояния и скорости звука в данном веществе.

Значения температур Дебая для ряда веществ даны в табл. 1.1.

Отметим, что изменение энергии колебания упругой волны на один квант можно рассматривать как появление

ТАБЛИЦА

Температуры Дебая 9 некоторых веществ

или исчезновение квазичастицы - фонона, имеющего энергию §o = hv и волновой вектор к. Финон движется в твердом теле примерно со скоростью звука. Волновой вектор k определяет квазиимпульс фонона p=hk, с помощью

dSo fp)

которого можно выразить скорость фонона v~-

Расчет полной энергии фононов различных частот дает возможность получить следующую формулу теплоемкости твердого тела без учета влияния электронов;

x*djc

¥

(1.5)

AV J V - атомный объем;

Vi и Vt - скорости распространения продольной и поперечной волн соответственно.

Зависимость теплоемкости Су от Т/ 6, полученная Дебаем, приведена на графике рис. 1.2. На нем нанесены некоторые экспериментальные точки для ряда металлов, нашедших применение в радиотехнике.

Иногда для расчета теплоемкости твердого тела пользуются менее точной формулой, полученной Эйнштейном (ранее Дебая):

(1.6)

Зависимость С от Г/6, рассчитанная по этой формуле для области низких температур, изображена на этом же рисунке пунктиром. Из сравнения выражений (1.5) и (1.6) видно, что модель Эйнштейна слишком проста,

в ней всем гармоническим осцилляторам в твердом теле приписана одна частота v, т. е. не учтена возможность колебаний с более низкими частотами, что особенно проявляется при низких температурах.

В отличие от упругих (или акустических) волн, при которых трехмерная решетка кристалла колеблется как сплошная среда, существуют оптические колебания ре-

Область низких температур

г т/в

Рис. 1.2. Зависимость теплоемкости С от Г/в.

шетки. Оптические фононы возникают при колебаниях внутри единичной ячейки решетки, где атомы колеблются относительно друг друга с частотами, соответствующими частотам инфракрасного диапазона волн.

Ввиду того что в решетке может быть одновременно возбуждено любое число одинаковых фононов, их распределение подчиняется статистике Бозе - Эйнштейна. Поэтому при тепловом равновесии среднее число фононов в данном квантовом состоянии (с квазипмпульсом р и энергией 3) определяется функцией Планка

Передача тепла происходит в твердом теле как с участием колебаний решетки (энергия переносится фононами), так и с участием свободных электронов.

Знание законов изменения теплопроводности при-

обретает исключительное значение для радиотехники низких температур, так как в любом охлажденном ра-диоустройстве, активном или пассивном, перепад температур отдельных его частей весьма значителен и оказывает существенное влияние на выбор элементов, радиоустройств II их конструкции. Теплопроводность К численно равна количеству тепла, прошедшего через единицу площади в единицу времени при единичном градиенте температуры, и измеряется в единицах вт м-град-К Анализ теплопроводности, обусловленной тепловыми колебаниями кристаллической решетки (фононами в потоке тепловой энергии), позволяет записать соотношение

(1.7)

где с - удельная теплоемкость (1 см решетки);

V - скорость распространения колебаний (скорость звука);

/-средняя длина свободного пробега фонона.

Скорость звука v определяется плотностью вещества и модулем сжимаемости и в различных твердых телах примерно одинакова (viO см/сек).

Количество тепла Q, проходящего через единичную площадку в единицу времени, определяется следующим образом:

Q={T,-T,), (1.8)

где (Г-72) - перепад температур между концами образца; L - длина образца. Отсюда с учетом (1.7) получим

Q=c(7,-r,)-,

(1.9)

т. е. избыточная тепловая энергия на одном конце образца по отношению к другому c(7 i-Т2) распространяется вдоль образца с эффективной скоростью переноса, равной скорости звука, умноженной на отношение 1/L. Под длиной свободного пробега / понимается рас-