стояние, на котором упругая волна (фонон) рассеивается (изменяет направление своего движения) в среднем один раз.

При низких температурах длина свободного пробега фонона ограничивается рассеянием на дефектах решетки (примесях, пустых узлах и атомах в междоузлиях, дислокациях).

I, см

3-10-

7- Ю

зпо т°к

Рис. 1.3. Зависимость длины свободного пробега фононов от температуры.

График зависимости / от температуры для некоторых веществ изображен на рис. 1.3.

Низкотемпературные зависимости теплопроводности твердого тела определяются механизмом переноса тепла (электронным или решеточным) и поэтом.у различны лля разных веществ (металлов, полупроводников, изоляторов) .

При разработке охлаждаемых радиоустройств большой интерес представляют вопросы, связанные с температурной зависимостью линейного расширения твердых тел. Величина коэффициента линейного расширения металлов, из которых изготовлены элементы колебательных систем, а также диэлектриков, используемых в этих системах, во многом определяет изменение резонансной частоты системы под воздействием температуры. Особенно это сказывается па стабильности частоты

генераторов в диапазоне СВЧ. Коэффициент а можно определить по формуле

I dL

L dT

(1-10)

где L -длина твердого образца.

Твердое тело начинает расширяться в том случае, если межатомные расстояния в нем будут увеличиваться. В свою очередь, увеличение межатомных расстояний может произойти в том случае, если увеличить колебательную энергию атомов, например, путем нагрева. Отсюда следует, что коэффициент линейного теплового расширения прямо пропорционален теплоемкости, являющейся мерой изменения энергии колебаний с изменением температуры. Это

Т А Б л и Ц А 1.2

Значения коэффициента f

видно из анализа формулы Грюнайзена

iV

где Кс - сжимаемость;

Y - коэффициент Грюнайзена. Коэффициент Y не зависит от температуры и может быть определен по табл. 1.2.

Следовательно, при температурах, близких к комнатной, в обычных условиях работы радиоаппаратуры коэффициент а почти не меняется с Г и соответствует известным данным для различных веществ. При глубоком охлаждении твердого тела (ниже температуры Дебая) величина а у некоторых веществ начинает резко уменьшаться, что является исключительно ценным для создания радиоустройств с улучшенными параметрами.

Уменьшение коэффициента линейного расширения при понижении температуры может быть проиллюстрировано графиком (рис. 1.4), где изображена зависимость энергии решетки от межатомного расстояния х. Как видно из этого рисунка, указанная зависимость асиммет-

рнчиа. что обусловлено природой взаимодс11ствия атомов в решетке.

Потенциальную энергию взаимодействия атомов при смещении на расстоянии х от положения в решетке при 7 =0°К, следуя Киттелю, можно определить как

(1.11)

где с, g W f-постоянные, характеризующие взаимодействие атомов, приводящее к асимметричности кривой Е{х).

Рис. 1.4. Зависимость энергии решетки от межатомного расстояния.

Выражение для определения среднего смещения х (изменения межатомного расстояния при воздействии температуры) имеет следующий вид:

(1.12)

т. е. X прямо пропорционально температуре решетки.

Действительно, при достаточно низкой температуре атомы в твердом теле колеблются таким образом, что

межатомное расстояние меняется от х\ дог, , т. е. среднее смещение xi изменяется мало относительно Xq (см. рис. 1.4, где Xi и Х2 для наглядности увеличены).

При увеличении температуры амплитуда колебаний возрастает от лгг до х\ и среднее значение смещения хг становится больше. Увеличение межатомного расстояния приводит к расширению твердого тела.

3. МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ПРОВОДНИКИ

Вещества, имеющие неполностью заполненную валентную зону или частично перекрываюпишся полностью заполненную и свободную зоны, относятся к металлическим проводникам.

В отсутствие вне1Пнего электрического поля, хотя электроны, благодаря своей волновой природе, движутся в идеальном кристалле беспрепятственно по всем направлениям, векторная сумма их импульсов равна нулю, так как на каждом уровне всегда имеются два электрона с равными и противоположно направленными скоростями. Под воздействием внешнего электрического поля электроны приобретают направленный импульс, и энергетические переходы, обусловленные ускорением электронов во внешнем поле, осуществляются свободно, так как разность между уровнями ничтожно мала (порядка 10-2 эв). При этом в проводнике появится поток свободных электронов, т. е. электрический ток.

Таким образом, у металлов проводящее состояние является нормальным, не требующим перехода электронов через запрещенную зону, поэтому у них энергия возбуждения носителей заряда равна нулю.

Для рассмотрения свойств металлов, применяемых в охлаждаемых радиоустройствах, весьма существенно знание статистического распределения электронов по энергетическим состояниям, соответствующего данной температуре тела. При этом учтем, что распределение электронов подчиняется принципу Паули, т. е. все частицы различимы (в каждом энергетическом состоянии может быть не более одной частицы). Термодинамическая вероятность W, равная полному числу способов распределения OTj частиц по z,- местам, соответствующим уровням энергии Qi, определяется выражением

(1.13)

Следовательно, W является вероятностью данного распределения электронов по всем состояниям системы.

Заменяя факториалы по формуле Стпрлинга, получаем

(1.14)

Условием равновесия для нашей системы, находящейся при температуре Т, является минимум свободной энергии

Pg-TS, (1.15)

где S - энтропия системы, определяемая логарифмом вероятности данного состояния системы (т. е. данного распределения частиц газа по объему и энергиям), умноженным на постоянную Больцмана к,

SklnW; (1.16)

S>- полная энергия системы электронов, которая выражается формулой

(1-17)

где nii - число электронов на / уровне.

После подстановки (1.14), (1.16) и (1.17) в (1.15)

имеем

Р= V {triii - кТ [г,\nzi - rrii In от, -

-(Zi - Шг) In (Zi-nii)]}. (1.18)

После необходимых преобразований для нахождения минимума свободной энергии как функции от т; и введения множителя FfkT можно получить следующее соотношение:

Zi - ftli

4--=0

(1.19)

Отсюда можем определить отношение числа электронов rrii с энергией Si к общему числу состояний с данной энергией:

(1.20)

/п,-

Это отношение представляет собой функцию распределения Ферми и т. е. вероятность того, что квантовое состояние с энергией Q (индекс i можно опустить) занято электроном:

/=-=-. (1.21)

е +

где F - химический потенциал электронного газа в расчете на один электрон (уровень Ферми).

Используя статистику Ферми, рассмотрим распределение электронов в зоне проводимости (валентной зоне)

Е,эв

т >0°к

£,эв

z~T Ва/:еитная Е зона

Заполненная зона

Т=0°¥.

---F

0,5 6)

Рис. 1.5. Распределение электронов в зоне проводимости металличе-ски.х проводников при различной температуре:

а - при Т>0° К: б - при Г=0° К.

металлических проводников, например щелочных металлов, при их охлаждении от 7>0°К до 7=0°К (рис. 1.5).

На рис. 1.5,а показана вероятность заполнения энергетических уровней при Г=300°К (кТОЩ эв).

Как видно из рисунка, с понижением температуры вероятность нахождения свободных электронов ниже уровня Ферми повышается и при Т=6°К равна 1 (рис. 1.5,6), т, е. все нижние энергетические уровни заняты, а все верхние свободны. Общее число свободных электронов, создающих проводимость, остается неизменным, а переход электронов из одного уровня в другой