механизм), - и может быть представлена следующим выражением;

(1.28)

о, г

д Аи (в=П5к) □ Na (202) . Си (303) о А1 (395) X Ni (т)

где Ы-а - концентрация примесей (дефектов).

При низких температурах в металлах с дефектами решетки основную роль играют эти дефекты, так как тепловые колебания малы. Характерная низкотемпературная зависимость приведенного сопротивления чистых

металлов изображена на рис. 1.6. Как видно из рисунка, в области температур ниже температуры Дебая (Г< < 6) колебательную энергию решетки, обратно пропорциональную /, можно определить из функции Дебая. Следовательно, при понижении температуры (ниже 6) сопротивление чистых металлов будет резко падать.

Несмотря на взаимодействие электронов с фононами, энергетический спектр металла качественно остается неизменным. Однако при этом, если считать, что два электрона при взаимном рассеянии обмениваются фононом, появляется некоторое эффективное притяжение между электронами. При низких температурах в ряде металлов и сплавов это притяжение может преобладать над куло-новским отталкиванием электронов, что может привести к изменению характера энергетического спектра и возникновению сверхпроводимости.

Отметим, что отношение и/ст является постоянной величиной и для металлов равно

ф=(у7 = 2.44-10- Г. (1.29)

Рис. 1.6. Зависимость приведенного сопротивления пяти металлов от 7 /в при низких температурах.

4. ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛУПРОВОДНИКИ

Как уже отмечалось, характерной особенностью диэлектриков является наличие широкой запрещенной зоны (более 2 эв) iipn полностью заполненной валентной зоне. В зоне проводимости диэлектрика электроны отсутствуют, так как средняя амплитуда тепловых колебаний недостаточна для возбуждения электронов в зону проводимости. Однако тепловые колебания атомов приводят к тому, что существует некоторая вероятность превышения средней амплитуды колебаний и соответствующего значения энергии. Происходящее в результате этого тепловое возбуждение электрона может позволить электрону перейти в зону проводимости. При этом в заполненной валентной зоне образуется незанятое место - дырка , т. е. появится возможность дырочной проводимости.

Вероятность появления возбужденного тепловыми колебаниями электрона в зоне проводимости весьма мала,

и величина ее пропорциональна ехр /-] - проводимость диэлектрика, как правило, очень мала и экспоненциально уменьшается с понижением температуры. Это и приводит к тому, что при глубоком охлаждении потери в диэлектриках, обусловленные механизмом электронной проводимости, резко падают. В реальных диэлектриках при низких температурах зависимость потерь от температуры имеет более сложный характер, что вызвано влиянием ряда факторов. Своеобразным видом потерь в чистом диэлектрике являются потери на электрострикцию, которые проявляются в широком интервале частот, включая диапазон СВЧ.

Это объясняется возбуждением высокочастотных акустических фононов, возникающих при вибрации решетки за счет электрической составляющей электромагнитного поля. Взаимодействие между фононами различных типов, возбуждаемыми полем, приводит к поглощению энергии этого поля. Если не учитывать рассеяния фононов в диэлектрике, то понижение температуры может значительно уменьшить влияние электро-стрикции и потери могут падать по закону Р или более резко. Как показывают результаты экспериментов, в диэлектриках, кроме отмеченных потерь, при низких

3* - 35 -

температурах существуют релаксационные потери, максимум которых наступает при определенном уровне охлаждения, а также и другие виды потерь, описание которых не приведено в данной книге.

В полупроводниковом материале, свободном от примесей, валентная зона заполнена полностью, но ширина запрещенной зоны мала (< 2 эв). Поэтому тепловых возбуждений оказывается достаточно, чтобы в зоне проводимости появились электроны (а в валентной зоне - соответствующее число дырок). При этом следует помнить, что электроны, появившиеся вблизи дна зоны проводимости, и дырки -вблизи верхнего края валентной зоны, ведут себя как свободные частицы, но с массой, отличной от массы свободного электрона. Поэтому существует понятие эффективной массы электрона т и эффективной массы дырки Шр.

В полупроводниках статистика электронов (их распределение по квантовым состояниям) значительно отличается от распределения в металлах, где существует вырожденный электронный газ.

В невырожденных полупроводниках доля занятых состояний в зоне проводимости ничтожно мала (Ю- 10** см- от общего числа состояний, равного IO22 слг). Это означает, что f < 1, т. е.

Г E-F \

(1.30)

Следовательно, для невырожденных полупроводников может быть применена статистика Максвелла - Больцмана. При этом уровень Ферми проходит ниже дна

зоны проводимости f о j и определяется выражением

(1.31)

где гпр п т - эффективная масса дырки и электрона соответственно.

Тек как-In/ 1, то уровень Ферми с точно-

стью до kT (в силу неравенства эффективных масс дырок и электронов) находится посредине запрещенной зоны. Концентрации электронов в зоне проводимости и дырок

- 36 -

в валентной зоне для собственного (беспримесного) полупроводника одинаковы и равны

;=2

(1.32)

Следует обратить внимание на то, что число свободных носителей (электронов и дырок) определяется динамическим равновесием процессов образования пар электрон - дырка и их рекомбинации. Отсюда ясно, что при понижении температуры концентрация носителей резко падает и при низких температурах около 0°К полупроводник может стать изолятором, так как в зоне проводимости и в валентной зоне носители будут отсутствовать. Вследствие этого происходит изменение удельной проводимости сг, определяемой выражением

смом

(1.33)

Из анализа этой зависимости с учетом медленного изменения подвижности от температуры следует, что проводимость меняется по закону а =s: Ле~*, что подтверждается экспериментами.

Создание полупроводников, сохраняющих (или даже улучшающих) при низких температурах свои полупроводниковые свойства, возможно как за счет новых материалов, так и за счет специального подбора концентрации и типа примесей, вносимых в исходный материал. Примеси могут быть внесены различными путями, например: диффузией в кристалл чистого полупроводника при повышенных температурах, кристаллизацией материала, вплавлением и т. д. Как известно, внесение в решетку кристалла определенных примесей приводит к тому, что энергетические уровни этих атомов попадает в запрещенную зону между валентной зоной и зоной проводимости.

Ввиду малой разности между уровнями валентных электронов атомов примеси и дном зоны проводимости энергия теплового возбуждения (энергия активации), необходимая для перевода электрона в зону проводимости, также мала. Например, для германия р-типа энергия активации примесей А1, В, Ga, In лежит в пре-

делах 0,0102-0,0112 эв, для кремния р-типа с теми же примесями - в пределах 0,046-0,16 эв. Поэтому в примесном материале свойства электропроводимости существуют при более низких температурах, чем в случае чистого полупроводника. Значит, проводимость охлажденного полупроводника будет иосить примесный характер и определяться концентрацией примеси и подвижностью соответствующих носителей. Для вычисления температурной зависимости копцеитрацин электронов найдем их число п, которое равно сумме числа дырок р в валентной зоне и числа свободных мест на донорных уровнях:

п = р+(Ыо-По), (1.34)

где yVc-число донорных уровней;

По - число электронов на донорных уровнях. Nd и По связаны простой зависимостью

1 -1-ехр(---j

(1.35)

где A£i - энергия активации; F - уровень Ферми.

Преобразовав (1.34) и подставив выражения для п и р (аналогичные 1.32), получим

(1.36)

где расстояние от уровня Ферми до верхнего края валентной зоны определено разностью А£-F.

При низких температурах электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет наличия примесей, так как энергия теплового возбуждения мала для преодоления полной ширины запрещенной зоны АЕ. В таком случае, пренебрегая числом дырок р и решая

- 38 -

уравнение (1.36) отиосительпо уровня Ферми F, получаем

(2лт ЙГ)3/2 Так как при низких температурах

1 (1.37)

F---\-kTin

2i2nmnkTf

Л

(1.38)

Таким образом, при охлаждении до 0° К уровень Ферми проходит посредине между донорными уровнями и дном зоны проводимости, т. е.

Р Д£

Из анализа температурной зависимости F следует, что уровень Ферми при повышении температуры от ОК сначала возрастает [при V{2т:тпкТу <С Nh], затем умень-

-,38 1,1

1,0 0,9 0,8

Рис. 1.7. Изменения уровня Ферми в зависимости от температуры.

шается, как показано на рис. 1.7. Это приводит к следующей зависимости концентрации свободных электронов от температуры:

=.(2Л,)/(!!)!е---/- (1.39)