Полиномиальная аппроксимация. Полиномиальная аппроксимация заключается в представлении вольт-амперной характеристика 1 = ф(ы) полиномом п-й степени:

i= akU>=ao + aiU+a2U-+...anU.

(2.3)

fe=0

Такой способ аппроксимации является наиболее удобным для объяснения принципа действия многих нелинейных устройств (модуляторов, детекторов, генераторов и пр.), находящихся под воздействием одного или нескольких гармонических колебаний. Определим коэффициенты полинома (2.3) с помощью метода выбранных точек. Метод состоит в определении коэффициентов ан из условия равенства значений ординат аппроксимированной и действительной характеристик в выбранных точках кривой. Для аппроксимации полиномом п-й степени в пределах интервала аппроксимации AV, задаваемого диапазоном изменения и, выбираем /г-}-1 напряжения u~Uk (от щ до Un+i) и определяем соответствующие токи i=ik (от и до .in+i). Простейший способ выбора значений Uk - деление интервала ДУ на п равных частей ,Д, как показано на рис. 2.3. При п=4 Д=(ы5-Wi)/4.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Для определения коэффициентов потребуем, чтобы при напряжениях t(=Mfe правые части полинома (2.3) давали /=г\:

ii = Co-bCi ]-ba2 i-b ... -ЬапЫ ь

(2.4)

j +i = ao-baiU +i-ba2w2n+i+ -.. -f-a u +i. В этих уравнениях значения и uy, известны. Решая систему алгебраических уравнений (2.4), находим коэффициенты Ofe. Если =0 лежит внутри интервала аппроксимации KV, коэффициент

ао определяется как ток при и=0. Очевидно, чем выше степень полинома п, тем ближе точки, в которых аппроксимированная характеристика совпадает с действительной, и тем точнее аппроксимация.

Для упрощения расчетов нередко характеристику аппроксимируют относительно рабочей точки А, вводя координаты y=i-h и x=u-Uo. В этом случае в аппроксимирующем полиноме

у=.ф, (х) =bix+b2X + b3X + ... (2.5)

отсутствует свободный член (Ьо=0), ибо у=0 при х=0. При этом уменьшается число коэффициентов полинома п-й степени, подлежащих определению, и упрощаются последующие расчеты компонент тока, поскольку при воздействии (2.1) в (2.5) нужно подставлять только переменную составляющую воздействия: х~

= и cos (x)t.

За пределами использованного при аппроксимации интервала AV аппроксимированная характеристика (пунктир на рис. 2.3) может резко отклоняться от действительной (сплошной), и пользоваться ею без специальной проверки не следует.

Определение n+l коэффициентов сводится к наложению на полином (2.3) п-\-1 граничных условий. В ряде случаев некоторые из этих условий целесообразно заменить иными. Например, можно потребовать, чтобы в определенных точках равными у аппроксимированной и действительной характеристик были бы не только ординаты, но и производные первого, а иногда и более высокого порядка. Так, характеристику туннельного диода (рис. 2.4) нередко аппроксимируют относительно середины падающего участка ММ неполным полиномом третьей степени y=aiX-}-C3:, определяя коэффициенты щ и аз из условий совпадения в экстремальных точках М и Л, где x=±AU/2 и y==FA 2: а) ординат характеристик

и б) касательных к ним. Второе условие означает - =0.

=±Д17/2

Из него

ai = -3as(AU/2)\ ) (2.6)

Из первого условия для точки имеем

-= х + з(-;. (2.7)

Совместное решение (2.6) и (2.7) дает

ai=-ЗД 2ДС/, аз=2Д (ДС/)з.

Четные и нечетные части характеристик. Нелинейную вольт-амперную хат рактеристику 1=Ф(ы), аппроксимируемую полиномом (2.3), можно представить в виде суммы четной и нечетной частей

1=Ф(ы)=Ф,(ы)-!-Фн,( ), (2.8>

Фч( )=ао-Ьа2Ы-Ьа4 -ЬФнч( ) =ai -fa3 -fa5 -f... (2.9>

4efHaH и нечетная части характеристики удовлетворяют соотношениям:

Ф,(-н)=Фч(ы), Фн,(- )=-Фн,( ). (2.10)

Заменяя в (2.8) и на -и и учитывая (2.10), получим

Ф(- )=Ф,( )-Фя-.( ). ?2.П)

Сложение и вычитание правых и левых частей (2.8) и (2.11) приводит к следующим выражениям для определения четных и нечетных частей характерис-

тики:

Ф,(ы) =

Ф{и)+Ф{-и)

Фвч(и) =

Ф( )-Ф(-и)

(2.12)

Четные и нечетные части характеристик строятся обычно относительно смещений, соответствующих рабочим точкам. На рис. 2.5а, б показаны такие построения для двух рабочих точек: Ai и Аз. Для каждого случая по характеристике 1=Ф(ы) построены: Ф(-ы) как зеркальное изображение Ф(ы) относительно оси ординат, проведенной через рабочую точку, -Ф(-ы) как зеркальное изображение Ф(-ы) относительно оси абсцисс, Ф,(ы) и Фвч( ) как полусуммы характеристик, соответствующих выражениям (2.12).

Рпс. 2.5

Целесообразность раздельного построения четной и нечетной частей характеристик вызвана рядом причин. Во-первых, работа многих схем определяется либо только четной (модуляция, детектирование), либо только нечетной (генерирование колебаний при постоянном смещении) частью характеристики. Аппроксимация же отдельно четной и отдельно нечетной частей вольт-амперной характеристики значительно проще аппроксимации полного полинома той же степени. Во-вторых, наличие таких характеристик во многих случаях облегчает понимание процессов в анализируемом устройстве.

По виду этих характеристик можно судить о минимальной степени полинома, правильно отображающем их основные особенности. Так, если напряжение и изменяется относительно рабочей точки на рис. 2.5а в пределах отмеченного Интервала AV, коэффициенты четной части характеристики должны иметь значения: ао>0, равное току в точке Ль а2<0, поскольку он определяет уменьшение Фч(и) при небольших напряжениях ы, и а4>0 для ограничения умеиьше- ия Ф,(и) при дальнейшем возрастании Нечетная часть характеристики Должна выражаться полиномом третьей степени с ai>G и йз<0; последнее - для