Главная >  Современные системы связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

ли бигармоническое

i M=t/i 005((01 + ф1)+ С/2С05(©2 + ф2), (3-5)

или полигармоническое колебание

= 2 /йС05((йй--фй). (3.6)

Требуется определить спектр отклика, т. е. спектр тока i. Классический метод решения этой задачи заключается ib подстановке выражений (3.4) - (3.6) в правую часть (3.3) с последующим определением спектральных компонент путем использования аппарата рядов Фурье в случае гармонического воздействия (3.4) или кратных рядов Фурье в случае бигармонического (3.5) и полигармонического (3.6) воздействий. Однако такой метод определения спектра отклика оказывается весьма трудоемким. Поэтому на практике получили распространение специальные методы спектрального анализа, каждый из которых связан, как правило, с определенными способами аппроксимации нелинейной зависимости (3.3) и характером воздействующего сигнала.

Задача любого метода спектрального анализа заключается в таком преобразовании правой части (3.3), при котором отклик (ток) представляется в виде суммы гармонических слагаемых: амплитуды и частоты этих компонент определяют спектр отклика. Наибольшее распространение имеют методы, основанные на использовании: 1) тригонометрических формул кратного аргумента, 2) формул трех и пяти ординат, 3) функций Бесселя от мнимого аргумента, а также 4) угла отсечки.

МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ КРАТНОГО АРГУМЕНТА

Этот метод является основным при использовании полиномиальной аппроксимации и особенно удобен для выявления принципа действия и основных особенностей таких устройств, как модуляторы, детекторы, преобразователи частоты, делители частоты и т. п.

Сначала рассмотрим воздействие на нелинейный резистивный элемент, характеристика которого аппроксимирована полиномом п-й степени

i=aQ->raiU + a2U~+ ... -Ьа (3.7)

гармонического колебания (3.4). Подставляя (3.4) в (3.7), получаем

i==ao+ailJcos{(uot+(f)+a2U~ С052((йо-Ьф) -- ... -bant/ cos (оо-Ьф)).

(3.8)

Для представления правой части (3.8) в виде суммы синусоидальных компонент воспользуемся известными тригонометриче-



скими формулами, позволяющими заменить степени косинусов (или синусов) через тригонометрические функции кратных аргументов (отсюда, название метода)

cos 4 if).

COS 1)3 = -i-\-- co.

cos* \h = - -\--cos2\l>-

3 1 5 5 cos3i}3 = - COS1J3-J--cos Зф, cosil) = - C0S1J3-1--cos Sip-l-

4-4 8 16

+ Lcos5%

(3.9)

полагая

<p = (Oot+tp. (3.10)

Осуществление такой подстановки и последующее суммирование коэффициентов при косинусах одинаковых аргументов позволяет записать (3.8) как

г=/о-Ь/1С08((йо-Ьф) +/2С08 2(соо-Ьф) -Ь

-Ь/зСОЗЗ((йо + ф)+ ... -Ь/пС08П((Во+ф), (3.11)

(3-12

На рис. 3.6а построен спектр выходного сигнала (3.11) и отмечены амплитуды спектральных компонент.

nOjg Q

- 1

Рис. 3.6

В приложении 1 приведены для справки и другие тригонометрические формулы, используемые при спектральном анализе.

СО .



Из сравнения выражений (3.11) и (3.12) с (3.4) следует:

1. Спектр отклика нелинейного элемента при воздействии на него гармонического сигнала оказывается линейчатым, содержащим ряд составляющих с частотами, кратными частоте входного сигнала. Наивысший номер составляющей спектра равен степени используемого полинома. Поэтому, если для какого-то применения нелинейного элемента необходимо знать амплитуду лй гармоники отклика, вольт-амперная характеристика элемента должна быть аппроксимирована полиномом порядка не ниже Пгго.

2. Постоянная составляющая отклика и амплитуды четных гармоник определяются только четны,ми степенями напряжения в полиноме (3.7),. а нечетных гармоник - только нечетными.

3. Текущая фаза г]; k-й гармоники отклика с частотой а-као в k раз больше значения текущей фазы (3.10) воздействующего сигнала:

ф.<=ШйЛ-фй=(£йоЛ-ф). (3.13)

Начальные фазы связаны соотношением

щ = к. (3.14)

При воздействии бигармонического напряжения (3.5) на нелинейный элемент, аппроксимируемый полиномод! (3.7), п

г= а[г7!СОз(й)1-Ьф1)-!-62С05(й)2+Ф2)]. (3.15)

fc=0

Раскрываем скобки в правой части (3.15), используя в случае высоких степеней k бином Ньютона, после чего с помощью три- -гонометрических формул представляем правую часть (3.15) в виде суммы гармонических составляющих различных частот. Для п=3

t == Оо + Oi i/г cos {fnt + фJ -Ь f/j cos {ajt + ф) + 2 U\ cos (со -f- Ф1) -f-

[0] [№.] [0.2 0.1

-f- 2cos (t2 i + Ф2) + 2 O2 fi COS (% / -f- ф) COS (to, f -f- Ф2) 4-

[0.2 (Bj] [Ci>1± )i] *

-f Cs U\ coss (fi)i f -f- ф) -f 3 ЙЗ U\ f/2 cos (©, t + Ф1) COS (щ t-\-ff +

[0 3(0,] [ooj. 2a.,±(0,]

+ 3 C3 f/j (72 COS (cOi t + ф) cos ( 2 < + Ф2) + Os U\ coss (tOg t + фг).

[u) (0t±2( ,] [( i,3(fl.l

(3.16)

Под каждым слагаемым записаны частоты, получающиеся при замене степеней и произведений косинусов суммой гармонических

Это справедливо, когда воздействие (3.4) не содержит постоянной со-ставлшощей.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93