составляющих на основании соотношений (3.9) и известного тригонометрического выражения

cosacosj3=-[cos(a-f-3)-f-cos(a-Р)]. (3.17)

Из выражения (3.15) и частного случая (3.16) следует, что пря воздействии Ангармонического сигнала ток содержит три группы гармонических составляющих:

гармоники с частотами feicoi и начальны ! фазами [фь где Й,= 1, 2,...,п;

гармоники с частотами kai и начальными фазами Й2ф2, -Где 2=1, 2, ...,п;

комбинационные составляющие с частотами feio>i±fetu2 и начальными фазами Й1ф1±2ф2, где lfei + 12=2, 3,..., а k\ и 2 - отличные от нуля целые числа любого знака.

Комбинационные частоты возникают в нелинейных цепях только в случае одновременного воздействия на них двух или большего числа гармонических колебаний. Комбинационные частоты принято характеризовать их порядком k, определяемым суммой коэффициентов: k-k\-\-k2. Простейшими являются комбинационные частоты второго порядка (tui±cB2). В случае я=3 в отклике содержатся комбинационные частоты второго и третьего порядков.

На рис. 3.66 построен спектр отклика (3.16) на воздействие бигармонического сигнала (3.5), причем комбинационные частоты выделены пунктирными линиями.

Если отношение частот сл/сог не может быть представлено в виде отношения небольших целых чисел (случай асинхронных воздействий), то все гармоники и колебания комбинационных частот образуют различные частотные компоненты. В частности, первая гармоника тока частоты toi может быть записана как ia, = =/1С05(£й1+ф1), т. е. она совпадает по фазе с воздействующим напряжением этой частоты.

Положение меняется, если отношение частот может быть выражено отношением небольшим целых чисел /и/п (случай синхронных воздействий)

(ui/(02=m/n, (3.18)

где т=\, 2, 3,...; и = 1, 2, 3,...; тфп. В этом случае ток может содержать несколько компонент одной и той же частоты с различными фазами. В качестве примера рассмотрим воздействие бигармонического колебания с т/и=1/2

u=Ui cos (Oif+it/zcos (2ю1-Ьф2) (3.19)

иа нелинейный элемент, описываемый полиномом второй степени

i=ao+aiU+a2U\ (3.20)

Подставляя (3.19) в (3.20), легко установить, что теперь первая гармоника тока МО] частоты ч>\ состоит из двух компонент:

i=cit/i cos ait+azUtUzCosifxiit+ifz), (3.2Ilt

Порядок комбинационной частоты еще не определяет ее вида. Так, следующие шесть различных частот являются комбинационными четвертого порядка: <Di=t3(02, 2<01±2(Й2, 3(01±(й2.

из которых вторая является следствием возникновения комбинационной частоты второго порядка. Если, например, ф2=-90°, выражение (3.21) можно записать ,

te =/tcos(o)if-l)), (3.22)

где /i = t/i/ai-fat/4 tgil5=C2t/2/ai. (3.23)

Из выражений (3.22) и (3.23) следует, что в расс атриваемом случае: имеет место сдвиг фаз iJj между первой гармоникой тока частоты toi и воздействующим напряжением той же частоты; это означает, что резистивный нелинейный элемент (3.20) по отношению к воздействию частоты toi обладает комплексной средней крутизной Scp = Sop-bi S cp или

Scp=/i/f?i=Sope* ; (3.24)-

величина сдвига фаз ifs и амплитуды /i, а значит, и величины активной и реактивной компонент средней крутизны зависят от амплитуды и фазы второго колебания (второй гармоники ©i).

Обогащение спектра отклика по сравнению со спектром воздействия происходит и в нелинейных реактивных цепях. Так, если на нелинейную дифференциальную емкость, аппроксимируемую относительно рабочей точки полиномом С=С(,(1-{-а.;и+а,2и), действует бигармоническое напряжение (3.5), в спектре тока

1=С =-Co{r-f-ai[t/i cos((0if-b(pi)-f-it/2 со5((02#-Ьф2)]-Ьа2[/1 cos((йl<-f-фl)-f at

+U2C0S{mt+fp2)Y}[mUisin{<ait+(ei)+<azUzsm{<02t+(p2)] i(3.25)

окажутся частоты, кратные (Oi и (Ог, и комбинационные частоты до третьего порядка включительно.

МЕТОД УГЛА ОТСЕЧКИ

Метод угла отсечки применяется при кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперных характеристик. Он широко используется при расчетах транзисторных и ла.мповых усилителей, генераторов, умножителей частоты.

Рассмотрим воздействие напряжения

u=E+Ucos(i>t (3.26)

на нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого аппроксимирована двумя прямыми (рис. 3.7) или выражениями - (2.16). Применяя для построения тока i метод проекций, удобно сначала (пунктирная линия) определить ток, который получился, если бы характеристика прибора была линейной с крутизной S при любых 31начениях и. Части полученной синусоиды, находящиеся над осью абсцисс (сплошные линии), определяют характер действительных импульсов тока /. Нелинейный элемент работает с отсечкой, т. е. часть входного напряжения, не заштрихованная на рис. 3.7, не участвует в создании тока. Получающиеся импульсы .тока синусоидальной формы характеризуются двумя величинами: ( высотой Irtuix И шириной. Половииа части периода, в течение кото- рой протекает ток (или та часть периода, в течение которой ток изменяется от максимального значения до нулевого), называется углом отсечки. Угол отсечки обозначаем О. к S3

в интервале -бсоб ток i отличен от нуля и может быть рассчитан как

i=KN-MN=Icos ш/-/cos е=/(cestui-cos 6). <3.27) Поскольку I=SU,

i=Sf/ (cos (Of-cos 6). (3.28) При (ui=0, i=Imax, a потому из (3.28)

/max = Sf;(l-COSB). (3.29).

Рис. 3.7

Периодическая последовательность импульсов тока рис. 3.7 является четной функцией. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид

i=/o-f-/rcos at+h COS 2tu-f-/3COS Зо>-Ь... (3.30)

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник в (3.30)

1

; /о=- \SU{zosat-cosQ)dat=SUyo{, (3.31) 2 3x Jg

Л=- Г Sf/(costui-С05 9)со5о>о>=5г771(е),

/ = J S (cos ш-cos 0) COS natdt = S(В),

(3.32)

Yo (6) = - (sin e-e COS 6), Yi (6) = - (6-sin 6 cos 6),

,o\ 2 sin и e cos 6 - и cos n 6 sin e о о /i

(3.33)