заменяют линейным с характеристикой, совпадающей с касательной к вольт-амперной характеристике нелинейного элемента. То же самое делают и при исследовании условий самовозбуждения. Поэтрму теория устойчивости и теория самовозбуждения Б большинстве случаев являются линейными теориями даже тогда, когда в состав исследуемого устройства входят нелинейные элементы. Однако такой подход возможен не всегда, о чем сказано на с. 140.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕНЕРАТОРА. УСЛОВИЯ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ

Составим дифференциальное уравнение генератора (см. рис. 4.16), учитывающее только переменные составляющие токов и напряжений. Согласно первому закону Кирхгофа ток в выходной цепи

1к=1ь+гс + 1Е. (4.3)

С целью упрощения расчетов используем два допущения: а) входной ток активного элемента считаем отсутствующим (tB=0), что достигается в генераторах на лампах и полевых транзисторах подачей надлежащего смещения во входную цепь, тогда

dir м

и, = М-=и; (4.@)

и б) пренебрегаем влиянием выходного напряжения усилителя на ток /к, считая его зависящим только от входного напряжения

1=Ф(ив), (4.6)

что Б большинстве случаев лишь несколько снижает точность расчетов, не влияя на характер получающихся зависимостей.

Выражение (4.6) можно рассматривать как аппроксимацию характеристики прямой передачи активного элемента относительно рабочей точки. Производную тока по времени запишем ак

4i!L = = S( B) -. (4.7)

dt d dt dt

где 5Сыв)==ФС в) - крутизна характеристики (4.6). Заменяем токи в (4.3) согласно (4.6) и (4.4):

dt Ка

Дифференцируя это уравнение по времени, используя (4.7) и (4.5) и обозначая (йо=\1ЬС, получаем дифференциальное уравнение генератора

+ Лт] + со2 в = 0. (4.8)

dt 1 RaC LC \ dt ° ,

Это уравнение является нелинейным, поскольку коэффициенъ при duldt зависит от искомой переменной Ыв- Нелинейность уравнения является следствием наличия в схеме нелинейного элемента. Уравнение определяет все свойства рассматриваемого генератора, и его решение позволяет установить и условия самовоз- . буждения, и особенности стационарных колебаний, и характер переходных процессов.

При определении условий самовозбуждения колебаний нелинейное уравнение генератора (4.8), как уже отмечалось, может быть заменено линейным. Действительно, в этом случае нас интересует выяснение только вопроса, что будет с небольшим отклонением от состояния равновесия: станет оно затухать или нарастать. Так как нелинейная функция S(Ub), представляющая крутизну характеристики прямой передачи, не имеет разрыва, для малых величин она может быть заменена значением этой функции при Ыв=0, т. е. крутизной S(0)=S в рабочей точке. В результате нелинейное уравнение (4.8) превращается в линейное:

dU , / .\ MS\ du . 2 r\ I л г.л

---Ь(-----t-tOoM = 0. (4.9)

Здесь напряжение и записано без индекса, поскольку уравнение

справедливо и для Uk, в чем легко убедиться, используя (4.5). Уравнение (4.9) можно записать как уравнение контура

+ 2аз--Ьсо2м = 0 (4.10)

dt dt °

с эквивалентным коэффициентом затухания 3=-{------1.

2 \ RgC LC J

Его решение имеет вид

и=А e~°®sin(,coc+<p).

где А и ф - амплитуда и фаза, зависящие от начальных условий;

©с= V соо-аэ - частота свободных колебаний. Если записать RaLjCr, где г - сумма сопротивлений потерь, включенных последовательно в ветвях контура, то

\ / т MS \ MS /л 114

где a = rl2L = \l2RaC - коэффициент затухания контура.

Уравнение (4.10) показывает, что генератор эквивалентен колебательному контуру, коэффициент затухания которого уменьшен на величину MSI2LC, зависящую от взаимоиндукции М, т. е. от обратной связи. Полученный результат означает, что переменное напряжение на входе активного элемента, обязанное наличию обратной связи, создает ток ik, доставляющий в колебательную систему энергию, компенсирующую потери в ней. Необходимая же энергия переменного тока 4 получается благодаря тому, что переменное напряжение управляет расходом энергии источни-120

лЗа постоянного тока, имеющимся в

выходной цепи, т. е. благодаря пре-

бразованию энергии постоянного мка в энергию переменного тока.

Если обратная связь невелика д (аэ>0 или MS/C<Zr), вносимая энергия лишь частично компенсирует расходуемую в колебательной системе, поэтому возникшее колебание затухает, хотя и медленнее чем в отсутствие обратной связи. При достаточно сильной обратной связи коэффициент Сэ оказывается отрицательным (вносимая энергия боль- ше расходуемой) и колебания нарастают. Зависимость характера колебаний от Сэ показана на рис. 4.4.

Условия самовозбуждения генератора можно записать как

аэ<0

M>Mp=L/SRs=rCIS.

В рамках допущений, принятых при выводе уравнения генератора, коэффициент обратной связи Ko.c=M/L, а коэффициент усиления усилителя Ку=8Дэ. Поэтому условие самовозбуждения (4.13) идентично условию (4.1).

Можно дать и иное объяснение действию обратной связи. Для этого перепишем уравнение (4.9) в виде

+ -(Gs + Gb ) + co2 = 0,

(4.14)

где Ga=l/i?a, Geh=-MS/L. Уравнению (4.14) соответствует эквивалентная схема рис. 4.5а. Действие обратной связи оказывается эквивалентным включению параллельно контуру проводимости

Рис. 4.5

Сен или сопротивления /?Ен=1/Свн- Тепсрь условия самовозбуждения генератора можно записать как

Сз-ЬСвн<0. (4.15)