Для выполнения этого условия вносимая проводимость должна быть отрицательной (Gbh<0), а ее величина Свн>Оэ; при этом общая активная проводимость эквивалентной схемы рис. 4.5а

Собщ=Сэ-ЬСвн<0. (4.16)

Общее активное сопротивление

/?общ=/?вн/?э/(/?вн+э) =-/?вн/?э/(/?э-/?вн ) (4.17):

отрицательно, если при ?в <0 знаменатель выражения (4.17) положителен, т. е. /?вн</?э, что эквивалентно условию (4.16).

Отрицательное активное сопротивление как показано в § 2.3, является источником энергии переменного тока. Поэтому отрицательное общее активное сопротивление (или проводимость) схемы указывает на то, что (поступающая в нее энергия переменного тока превосходит расходуемую, за счет чего происходит увеличение амплитуды и энергии колебаний. Таким образом, объяснения самовозбуждения как следствия внесения энергии, компенсирующей затухание контура, или введения отрицательного сопротивления - совершенно идентичны.

Обратная связь, способствующая самовозбуждению колебаний, называется положительной. В рассмотренном случае она соответствует М>0. Если знак М изменить на обратный, для чего достаточно поменять местами точки подключения одной из обмоток трансформатора, R вн и Овн станут положительными; затухание контура возрастет, и самовозбуждение станет невозможным. Обратная связь, затрудняющая самовозбуждение, т. е. увеличивающая устойчивость состояния равновесия, называется отрицательной. Следовательно, для создания автогенераторов необходимо использование положительной обратной связи.

Применение положительной обратной связи, меньшей критической (М<Мкр), приводит к увеличению общего эквивалентного сопротивления /?общ и добротности Qskb контура в соответствии с выражениями

Это используется для увеличения усиления и избирательности усилителей.

Эквивалентная схема генератора, определяющая условия самовозбуждения, нередко представляется в виде последовательного контура рис. 4.56, в котором действие обратной связи характеризуется вносимым сопротивлением Гвн-Такая схема соответствует (4.10), переписанному в соответствии с (4.11) в виде

и 1 du

-+Y< + ==>-+0 = 0. (4-18)

где Гвн=-MS/C. Условия самовозбуждения для схемы рис. 4.56

г-Ьлвн<й {4.19)

или Лвн<0 и \Гвя[>г. (4.20)

Из анализа эквивалентных схем рис. 4.5 следует, что для самовозбуждения колебаний достаточно включить в контур такое отрицательное сопротивление, при котором общее активное сопротивление контура окажется отрицательным.

Одной из особенностей биполярных транзисторов является наличие во входной цепи активного элемента АЭ тока 1вФ0. Учет входных токов АЭ усложняет анализ работы автогенератора, приводит к повышению порядка дифференциального уравнения, описывающего процессы в схеме.

В некоторых схемах учет влияния £в не повышает порядка дифференциального уравнения. Это, в частности, имеет место для схемы рис. 4.6а с контуром во входной цепи. Для рис. 4.6а

С+, + ,-. = 0, Z,ft+A,ii-+=

Определяем i из первого уравнения и подставляем во второе

+ гС-

Рис. 4.6

Заменяя для малых амплитуд колебаний характеристики транзистора (входную и прямой передачи) касательными в рабочих точках, как показано на рис. 4.66, имеем 1в= в/вх, 1к=5иш, причем S=tgPi, rBx=ctgP2. Теперь дифференциальное уравнение приобретает вид

MS\du

dt \L ЛвхС LC j dt

Следовательно, рассматриваемый генератор контуру с коэффициентом затухания

1 / л , 1 MS

эквивалентен

колебательному

гхС LC ; 2. YL \ Лвх

При наличии входного тока £в коэффициент затухания колебательной системы возрастает по сравнению со случаем (в = 0 из-за добавления потерь во входном сопротивлении. Поэтому для их компенсации требуется более сильная по-ложительнйя обратная связь. Соответственно условие самовозбуждения можно записать как

причем Жкр>ЛГ р, определяемого (4.13).

вх /

Сказанное здесь характерно и для ламповых генераторов при наличии сеточных токов.

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Для определения устойчивости состояния равновесия необходимо выяснить, как ведет себя система при малых отклонениях от него. Выше было показано, что эта задача обычно является линейной, поскольку при ее решении нелинейные зависимости заменяются линейными. Обозначим через у малое отклонение какой-либо величины (тока, напряжения, заряда...) от значения, имеющего место в состоянии равновесия. Будем считать, что поведение системы при малых значениях у описывается линейным дифференциальным уравнением п-го порядка

+ <+-+сп-. + апУ = 0. (4.21)

Решение линейного уравнения можно искать в виде суммы слагаемых вида

у=А еР*. (4.22)

Подставляя (4.22) в (4.21), получаем характеристическое уравнение

£)>(р) =aoP +aiP -4- ... +агь-1Р+агь=0, (4.23)

имеющее п корней. Решегше (4.23) можно записать как сумму слагаемых (4.22):

г/ = е -Ь 2 е -Ь ... + (4-24)

где постоянные Ai-Л определяются из начальных условий, а Pi-Рп являются корнями характеристического уравнения (4.23). В общем случае характеристическое уравнение обладает действительными корнями Pi=ai и парами комплексно-сопряженных корней Pj = aj±iPj. Если среди общего числа п корней действительными окажутся т, то общее решение (4.24) можно представить в виде суммы т экспоненциальных и s= {п-т)/2 осциллирующих членов

г/=УЛ,е +УВ,.е - cos(P,. +ф,-), (4.25)

1=1 /=1

где Bj-e со5(Р5-/-Ьф) представляет собой сумму двух слагаемых (4.24) с комплексно-сопряженными корнями.

Характер процессов, соответствующих (4.25), может оказаться весьма сложным. В общем случае изменение у происходит по апериодическому закону, на который накладываются процессы колебательного .характера с нарастающими, затухающими или неизменными амплитудами различных частот. Отклонение, вызванное апериодическим слагаемым с аг>0, монотонно возрастает, а с аг<0 - монотонно уменьшается. Аналогично амплитуда Bj-e * каждого колебательного процесса с течением времени неограниченно возрастает, если aj>0, и затухает, если aj<0. 124