Главная >  Современные системы связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещее т-веиную часть, отклонение у от состояния равновесия стечением времени затухает, благодаря чему состояние равновесия является устойчивым. Если хотя бы один из корней (например, рь) имеет положительную вещественную часть, а остальные отрицательную, то (п-1) слагаемых в (4.24) с течением времени приближаются к > нулю, тогда как Л-е слагаемое ун=Ане* неограниченно возрастает, уводя систему в целом все дальше от состояния равновесия.

При некоторых комбинациях коэффициентов Uq - а все корни характеристического уравнения (4.23) имеют отрицательные вещественные части. Весьма заманчиво установить соотношения, при которых это имеет место, ибо тогда можно будет судить об устойчивости состояния равновесия, не решая соответствующих дифференциальных уравнений. По существу, все критерии устойчивости представляют собой выраженные в той или иной форме условия, при которых все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Наиболее широкое распространение получили критерии Рауса - Гурвица, Найквиста и Михайлова, к изучению которых мы переходим.

КРИТЕРИИ РАУСА-ГУРВИЦА

Критерий Рауса - Гурвица является аналитическим критерием, непосредственно устанавливающим условия, при которых вещественные части всех корней характеристического уравнения оказываются отрицательными. Для этого нужно написать главный определитель, пользуясь следующими правилами: первый столбец содержит коэффициенты уравнения (4.23) с нечетными индексами в порядке возрастания, а в каждом ряду вправо располагаются коэффициенты в порядке убывания их индексов

10 :0 О ..

as ch

% i Ofl 0 ... 6 4 Оз : 2 1 ...

(4.26)

Ch 6 6 4 3...

Далее из главного определителя нужно выписать п определителей (здесь п - степень характеристического уравнения) согласно пунктирным линиям в (4.26):

первый определитель включает один столбец и строку

второй определитель содержит два столбца и две строки

одну

(4.27)

(4.28)



третий - три столбца и три строки

Oi Оо О

и т. д.

(4.29)

аз СЦ. аъ 4

Критерий Рауса - Гурвица устанавливает, что все корни характеристического уравнения (4.23) при ао>0 имеют отрицательные вещественные части, если все п определителей Dh (где k=\, 2, п) положительны. При составлении определителей следует считать коэффициенты аг=0, если индекс i>n, т. е. если такие коэффициенты в (4.23) отсутствуют. Поскольку главная диагональ определителя (4.26) содержит коэффициенты аи Ог, с , в нижней строке последнего определителя £) слева от а оказываются коэффициенты с индексами i>n, потому они должны быть заменены нулями. Рассмотрим примеры.

1. Характеристическое уравнение второй степени

aoP+aip-\-a2=0. (4.30)

Полагая ао>0, получаем два условия устойчивости по критерию Рауса - Гурвица:

Z)i=ai>a (4.31) at Од

О Й2

= с:1И2>0.

(4.32)

Если выполняется (4.31), то для выполнения (4.32) требуется, чтобы а2>0.

Таким образом, из критерия Рауса - Гурвица следует, что корни уравнения (4.30) имеют отрицательные вещественные части, если все коэффициенты уравнения положительные.

Справедливость этого вывода можно проверить непосредственно из реще-ния квадратного уравнения (4.30) pi,2={-ai±\/a.h-aoaz)l2ao. Если все коэффициенты уравнения положительны, то возможны два варианта: а) когда а1>4аоа2, и тогда оба корня действительные и отрицательные; б) когда a-i< <4аса2, и тогда корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью.

2. Характеристическое уравнение третьей степени

aBp+aip:-{-chp+as<=0. (4.33)

Условия устойчивости при ао>0 записываются как £)i=ai>0, ci Со

Z>3 =

В случае выполнения

Из 2

1 Од о

Og Оа 1 О О йз (4.34) из

= Из (Й1 йз - йо Из) > 0.

(4.34)

(4.35)

(4.35) следует аз>0. Если же учесть, что ИоИз>0 и ai>0, то для выполнения условия (4.34) необходимо, чтобы И2>0. Таким образом, для обеспечения устойчивости требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительными и, кроме того, выполнялось условие (4.34).

3. Характеристическое уравнение четвертой степени



(4.36)

Условия устойчивости при Ио>0 оказываются

Di = ai>0, 02=0102-аоаз>0, D3=asD2-ohoi>0, Di=aiDs>0.

Легко показать, что если эти условия выполняются, то а4>0, аз>0 и И2>0.

В общем случае для обеспечения устойчивости необходимо (хотя для п>2 недостаточно), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными

аг>0, г = 0, 1, 2, .... п. (4.37)

Если все коэффициенты щ положительны, то не все условия Dh>0 оказываются независимыми: из положительности определителей Dh четного порядка следует положительность определителей нечетного порядка и наоборот. С учетом этого Льенар и Шиппар сформулировали критерий: все корни характеристического уравнения (4.23) имеют отрицательны е в е щ еств ен н ы е части, если: а) все коэффициенты уравнения (4. 23) положительные hi6) выполняются условия Di>0, D4>0, ... или /)з>0, D5>0 ...

Читателю рекомендуем самостоятельно проверить, что при выполнении (4.37) корни характеристического уравнения третьей степени будут иметь отрицательные вещественные части, если D2>0, четвертой степени, если Оз>0, пятой степени, если /)2>0 и D4>0.

Критерии Рауса - Гурвица и Льенара - Шиппара широко используются при теоретических исследованиях различных устройств с обратной связью.

критерии михайлова

Графоаналитический критерий Михайлова предназначен для исследования устойчивости замкнутой системы по ее характеристическому уравнению (4:23). В случае сложных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, используемые по критерию Рауса - Гурвица выражения становятся громоздкими и ненаглядными, и в этцх условиях преимущества критерия Михайлова оказываются особенно ощутимыми.

Для вывода критерия Михайлова перепишем левую часть характеристического уравнения (4.23) в виде

Dip) =aoip-pi) {p-P2).-iP-Pn), (4.38)

где Pi, р2, рп - корни характеристического уравнения D(p)=0. Подставляя в правую часть (4.38) p=im, получим

D (i со) = 0 (i 03-Pi) (iPs) - (i ш-P ) (4.39)

Каждый из сомножителей выражения (4.39) можно представить на комплексной плоскости вектором Гн=ш-рк=Гне, а весь характеристический многочлен - вектором

(4.

D(i(a)=aoe* r,r2...rn. (4.40)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93