Главная >  Современные системы связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

Обозначая .

п п ,

fc=l к=1

можем переписать (4.40) в виде

0(1ш)=аое>чПг. (4.41)

fc=i

При изменении частоты ю каждый из векторов меняет положение. Величина ф характеризует направление результирующего вектора 0(1ш). Рассмотрим, в каких пределах изменяются аргументы ф при изменении частоты со от О до оо в различных случаях.

1. Корень р=а<0.- действительный отрицательный. Для этого случая на рис. 4.7а отложены векторы р, ico и Гн=ш-рк. При изменении ю от О до оо вектор Гь повернется на угол ф=л/2. Поворот вектора против часовой стрелки считаем положительным, по часовой стрелке - отрицательным.



Рис. 4.7

2. Корни pft,ft+i==ah±iPh - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью (aft<0). При изменении to от О до ОС (рис. 4.76) углы поворота векторов и х+\- оказываются равными соответственно ф=л/2-Ь7 и ф+1=л/2-у, где tgv = = Pft/afc. Суммарный поворот двух векторов ф;г-Ьф+1=л.

3. Корень pft=aii>0 - действительный положительный. Изменение ш от О до ОС приводит к повороту fft (рис. 4.7е) на угол Фл=-я;/2.

4. Корни pft,ft+i = afc±iPfc - комплексные сопряженные с положительной вещественной частью (а>0). При изменении со от О до ОС (рис. 4.7г) углы поворота векторов оказываются: ф= =-(л/2-fY), фй+1=-(л/2-у). Суммарный поворот- двух векторов фь4-ф+, = -JX.

Устойчивым системам соответствуют первые два случая, при которых среднее изменение каждого агумента при изменении частоты от О до ОС оказывается равным л/2. 128



Состояние равновесия системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением п-го порядка, является устойчивым, если при изменении частоты и от О до оо вектор D(io) повернется

на угол ф = -у против часовой стрелки. Если угол

поворота ф отличается от п , состояние равновесия неустойчивое.

В этом и состоит критерий Михайлова.

Траектории конца вектора D(ioD), т. е. годографы вектора D(icu) называются кривыми Михайлова. На рис. 4.8а показан характер кривых Михайлова для устойчивых состояний равновесия

Г1=2

0 J

n=it

Рис. 4.8

В системах различного порядка. Точка, соответствующая ш = 0 для устойчивой системы, всегда лежит на оси абсцисс справа от начала координат, так как при р=1.и=0 из (4.23) £(0)=а , а согласно критерию Рауса - Гурвица в такой системе все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. В устойчивой системе вектор 0(1и) с ростом частоты поворачивается против часовой стрелки вокруг начала координат.

В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение (4.33) D(p)=a p -)-aip2+a2/3+a3 = 0 с корнями pi, рг, рз. Считаем все коэффициенты уравнения (оо, oi, 02, оз) положительными, что, как отмечалось при изучении критерия Рауса - Гурвица, является условием необходимым, по недостаточным, для устойчивости состояния равновесия. Заменяя в характеристическом уравнении р на ко, получаем

D(icu)=A.c(cu)-biDj(cu), (4.42)

где Dx(cu) =из-oico £> (<в) =сй (02-оош).

При <в=0 Вх(0)=аз, D (0) = 0. Поэтому <в=0 соответствует точка А на оси абсцисс (рис. 4.86), где л;=аз. При увеличении частоты от О до оо благодаря положительности всех коэффициентов at Dx уменьшается, стремясь к -оо; D,j сначала возрастает (достигая максимума при <в= Vaa/Sezo), а затем также уменьшается, стремить к -со. Значит, при шоо вектор D(iM) попадает в третий квадрант. При этом могут получиться кривые Михайлова двух типов: охватывающие (кривая /) и не охватывающие (кривая ) начало координат.

5-92 1129



Кривая / соответствует тому случаю, когда с увеличением со вектор D(ico) сначала совпадает с осью у, что имеет место на частоте Шь на которой

D4(i)i)=Q или Cu2i=u3/ai, (4.43) н лишь потом на более высокой частоте

itt>2>coi (4.44) совпадает с осью х, что имеет место, когда

Z)j,(cu2)=0 или (й = аг1ао. (4.45)

Кривая / характеризуется условием (4.44). Возводя обе части неравенства 1(4.44) в квадрат и используя (4.43) и (4-45), приходим к выражению aai- -Иоаа>0, совпадающему с условием устойчивости (4.34) по критерию Рауса - Гурвица.

Кривая характеризуется тем, что при увеличении ш вектор D(i<B) сначала на частоте Шг совпадет с осью абсцисс [ВуОмг) =0], а затем на более высокой частоте coi совпадает с осью ординат [Dx(<bi)=0]. Следовательно, для кривой II (Bi>ra)2 или a2ai-aofl3<0, что означает нарушение одного из условий устойчивости Рауса - Гурвица. Итак, кривая / соответствует устойчивому состоянию равновесия, кривая Я -неустойчивому. Для любой из этих характеристик при -j-oo обозначенный на рис. 4.86 угол il3=(n/2, что следует из выражения

,. i , ,. (В (Оа - Яе ш)

limtgij)= hm = lim -~-= оо.

га- > (о-00 (<в) (0-00 (из-Й1<в)

Проследив теперь непосредственно по графикам рис. 4.86 за поворотом вектора D(iM) при изменении со от О до оо, легко убедиться в том, что общий угол поворота вектора Di(icu) оказывается для кривой / ф1=Эя/2, что соответствует устойчивому состоянию равновесия по критерию Михайлова; для кривой П угол ф11=-я/2, что означает неустойчивость состояния равновесия.

Таким образом, как и следовало ожидать, оба метода оценки устойчивости (по критерию Рауса - Гурвица и Михайлова) дают одинаковые результаты.

КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА

Критерий Найквиста решает вопрос об устойчивости состояния равновесия .замкизтой цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи: по ее амплитудно-фазовой характеристике (АФХ).

Представим цепь с внешней обратной связью (см. рис. 4.2 или 4.3) в виде четырехполюсника рис. 4.9а; его входное сопротивле-

1--1 ние считаем Zbx- Разомкнем цепь

X.--М обратной связи, позаботившись

yz& %llfz Q .j-oM, чтобы режим работы четы-

гЧг ?г~] -К- l5 - рехполюсника остался прежним;

J) Щ для этого подключим на его выхо-

Pjjj, 4д де сопротивление нагрузки, рав-

ное Zbx, как показано на рис. 4.96. Свойства разомкнутого четырехполюсника в последующем будем характеризовать его комплексным коэффициентом передачи

K(i(o)=iCe4=f72/>i, (4.46)

определяемым отношением комплексных амплитуд выходного U-2 и входного Vx напряжений. Траектория конца вектора К (ico) на

Уравнение Dj(<b)=0 имеет еще одно решение ©=0, что соответствует начальной точке кривой Михайлова: х-а.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93