Главная
>
Современные системы связи Обозначая . п п , fc=l к=1 можем переписать (4.40) в виде 0(1ш)=аое>чПг. (4.41) fc=i При изменении частоты ю каждый из векторов меняет положение. Величина ф характеризует направление результирующего вектора 0(1ш). Рассмотрим, в каких пределах изменяются аргументы ф при изменении частоты со от О до оо в различных случаях. 1. Корень р=а<0.- действительный отрицательный. Для этого случая на рис. 4.7а отложены векторы р, ico и Гн=ш-рк. При изменении ю от О до оо вектор Гь повернется на угол ф=л/2. Поворот вектора против часовой стрелки считаем положительным, по часовой стрелке - отрицательным. Рис. 4.7 2. Корни pft,ft+i==ah±iPh - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью (aft<0). При изменении to от О до ОС (рис. 4.76) углы поворота векторов и х+\- оказываются равными соответственно ф=л/2-Ь7 и ф+1=л/2-у, где tgv = = Pft/afc. Суммарный поворот двух векторов ф;г-Ьф+1=л. 3. Корень pft=aii>0 - действительный положительный. Изменение ш от О до ОС приводит к повороту fft (рис. 4.7е) на угол Фл=-я;/2. 4. Корни pft,ft+i = afc±iPfc - комплексные сопряженные с положительной вещественной частью (а>0). При изменении со от О до ОС (рис. 4.7г) углы поворота векторов оказываются: ф= =-(л/2-fY), фй+1=-(л/2-у). Суммарный поворот- двух векторов фь4-ф+, = -JX. Устойчивым системам соответствуют первые два случая, при которых среднее изменение каждого агумента при изменении частоты от О до ОС оказывается равным л/2. 128 Состояние равновесия системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением п-го порядка, является устойчивым, если при изменении частоты и от О до оо вектор D(io) повернется на угол ф = -у против часовой стрелки. Если угол поворота ф отличается от п , состояние равновесия неустойчивое. В этом и состоит критерий Михайлова. Траектории конца вектора D(ioD), т. е. годографы вектора D(icu) называются кривыми Михайлова. На рис. 4.8а показан характер кривых Михайлова для устойчивых состояний равновесия
Рис. 4.8 В системах различного порядка. Точка, соответствующая ш = 0 для устойчивой системы, всегда лежит на оси абсцисс справа от начала координат, так как при р=1.и=0 из (4.23) £(0)=а , а согласно критерию Рауса - Гурвица в такой системе все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. В устойчивой системе вектор 0(1и) с ростом частоты поворачивается против часовой стрелки вокруг начала координат. В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение (4.33) D(p)=a p -)-aip2+a2/3+a3 = 0 с корнями pi, рг, рз. Считаем все коэффициенты уравнения (оо, oi, 02, оз) положительными, что, как отмечалось при изучении критерия Рауса - Гурвица, является условием необходимым, по недостаточным, для устойчивости состояния равновесия. Заменяя в характеристическом уравнении р на ко, получаем D(icu)=A.c(cu)-biDj(cu), (4.42) где Dx(cu) =из-oico £> (<в) =сй (02-оош). При <в=0 Вх(0)=аз, D (0) = 0. Поэтому <в=0 соответствует точка А на оси абсцисс (рис. 4.86), где л;=аз. При увеличении частоты от О до оо благодаря положительности всех коэффициентов at Dx уменьшается, стремясь к -оо; D,j сначала возрастает (достигая максимума при <в= Vaa/Sezo), а затем также уменьшается, стремить к -со. Значит, при шоо вектор D(iM) попадает в третий квадрант. При этом могут получиться кривые Михайлова двух типов: охватывающие (кривая /) и не охватывающие (кривая ) начало координат. 5-92 1129 Кривая / соответствует тому случаю, когда с увеличением со вектор D(ico) сначала совпадает с осью у, что имеет место на частоте Шь на которой D4(i)i)=Q или Cu2i=u3/ai, (4.43) н лишь потом на более высокой частоте itt>2>coi (4.44) совпадает с осью х, что имеет место, когда Z)j,(cu2)=0 или (й = аг1ао. (4.45) Кривая / характеризуется условием (4.44). Возводя обе части неравенства 1(4.44) в квадрат и используя (4.43) и (4-45), приходим к выражению aai- -Иоаа>0, совпадающему с условием устойчивости (4.34) по критерию Рауса - Гурвица. Кривая характеризуется тем, что при увеличении ш вектор D(i<B) сначала на частоте Шг совпадет с осью абсцисс [ВуОмг) =0], а затем на более высокой частоте coi совпадает с осью ординат [Dx(<bi)=0]. Следовательно, для кривой II (Bi>ra)2 или a2ai-aofl3<0, что означает нарушение одного из условий устойчивости Рауса - Гурвица. Итак, кривая / соответствует устойчивому состоянию равновесия, кривая Я -неустойчивому. Для любой из этих характеристик при -j-oo обозначенный на рис. 4.86 угол il3=(n/2, что следует из выражения ,. i , ,. (В (Оа - Яе ш) limtgij)= hm = lim -~-= оо. га- > (о-00 (<в) (0-00 (из-Й1<в) Проследив теперь непосредственно по графикам рис. 4.86 за поворотом вектора D(iM) при изменении со от О до оо, легко убедиться в том, что общий угол поворота вектора Di(icu) оказывается для кривой / ф1=Эя/2, что соответствует устойчивому состоянию равновесия по критерию Михайлова; для кривой П угол ф11=-я/2, что означает неустойчивость состояния равновесия. Таким образом, как и следовало ожидать, оба метода оценки устойчивости (по критерию Рауса - Гурвица и Михайлова) дают одинаковые результаты. КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА Критерий Найквиста решает вопрос об устойчивости состояния равновесия .замкизтой цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи: по ее амплитудно-фазовой характеристике (АФХ). Представим цепь с внешней обратной связью (см. рис. 4.2 или 4.3) в виде четырехполюсника рис. 4.9а; его входное сопротивле- 1--1 ние считаем Zbx- Разомкнем цепь X.--М обратной связи, позаботившись yz& %llfz Q .j-oM, чтобы режим работы четы- гЧг ?г~] -К- l5 - рехполюсника остался прежним; J) Щ для этого подключим на его выхо- Pjjj, 4д де сопротивление нагрузки, рав- ное Zbx, как показано на рис. 4.96. Свойства разомкнутого четырехполюсника в последующем будем характеризовать его комплексным коэффициентом передачи K(i(o)=iCe4=f72/>i, (4.46) определяемым отношением комплексных амплитуд выходного U-2 и входного Vx напряжений. Траектория конца вектора К (ico) на Уравнение Dj(<b)=0 имеет еще одно решение ©=0, что соответствует начальной точке кривой Михайлова: х-а.
|