комплексной плоскости, получающаяся при изменении частоты со от О до оо, т. е. годограф вектора K(icu) называется аплитудно-фазовой характеристикой четырехполюсника.

Схема рис. 4.9а при малых амплитудах колебаний описывается линейным дифференциальным уравнением я-го порядка

ao+a,-+...+a j -+ а , = 0. (4.47)

Подстановка в (4.47) u2=02p приводит к характеристическому уравнению (4.23) D(p)=0. Уравнение (4.47) можно записать как

£)172ег =.0. (4.48)

Разомкнутая система рис. 4.96 описывается дифференциальным уравнением

d и, , . du,

= 0-,-+...+ (4.49)

которое Б случае комплексного Zbx может иметь порядок более высокий, чем уравнение (4.47). Пусть t/i=C,eP и Ы2=С2ег . Обозначая Do{p)bop+ +bp -+...+b-,p+bm и £i(/3)=cop*+c,p-+...+Cft ip+Cft, запишем (4.49) в виде

DoC2eP=DiOieP. (4.50)

Уравнение Do=0 является характеристическим уравнением разомкнутого четырехполюсника, определяющим его поведение при Ui = 0. В дальнейшем считаем разомкнутый четырехполюсник устойчивым, что имеет место, если все его корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Если замкнуть цепь обратной связи, то i= 2. Oi = 02, и (4.50) сведется к (Do-i))C2e = 0, из сопоставления которого с (4.48) следует, что

D=Do-Di (4.51)

при любых р.

Если на входе разомкнутого четырехполюсника действует гармоническое напряжение t/ieb>, то р=ш, и из (4.50) можно определить комплексный коэффициент передачи (4.46) как

K(icu) = Di/Do. (4.52>

С учетом (4.51)

K(i(B)=l-F(ifi)), {4.53}

тле F(io))=D(ito)/Z)o(;(u). (4.54>

Здесь согласно (4.39) D(i(o) =a()(ico-pi) (ico-рг) (i<o-Рп). Прн выводе- кри -терия Михайлова было показано, что каждый из векторов г* = 1(в-рь, в которо!* Ph величина действительная отрицательная, при изменении частоты со от О до оо поворачивается в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол 1Я/2, а векторы гп, у которых ph комплексные сопряженные с отрицательными вещественными частями, в среднем поворачиваются на тот же угол. Если че имеют положительные вещественные части, то поворот векторов r.=i(o- Pft происходит на такие же величины, но в противоположном (отрицательном) направлении. Поэтому, если из общего числа п корней уравнения D(p) = - О 1 корней имеют отрицательные вещественные части, а 2 - положительные \П1+П2=п), то при изменении оз от О до оо вектор D(i(B) поворачивается на

угол (и,-/12)31/2.

Так как все корни вектора Do имеют отрицательные вещественные части (условие устойчивости разомкнутой цепи), то общий угол поворота вектора

5* .13В

F(i{u) фр=(я1- 2- 0/2. Критерий Найквиста доказывается для случая одинаковых степеней полиномов D и Do, что соответствует омическому сопротивлению Zbx- При этом т=п и

фJi = ( 1-П2-я) л;/2. (4.55)

Система устойчива в замкнутом состоянии, если все п корней характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. При этом i = =п, 2=0 и фг = 0. Следовательно, состояние равновесия замкнутой системы является устойчивым, если при изменении <в от О до оо угол поворота вектора F(i(B) равен нулю фр = 0. На рис. 4.10 сплошные линии представляют амплитудно-фазовые характеристики (АФХ) комплексной функции F(i(B). Согласно сформулированному здесь критерию рис. 4.10а соответствует неустойчивому состоянию равновесия, поскольку при обходе АФХ угол фр=2л;; рис. 4.106 и в соответствуют устойчивым состояниям равновесия, ибо для них фр=0.

Переход от АФХ функции F(ifi)) к АФХ функции K(i(B) осуществляем согласно (4.53); сначала на рис. 4.10 наносим пунктирными линиями АФХ функции -F(icu), а затем сдвигаем их вправо на 1, что приводит соответственно к

fiHc. 4.11й-е. Точка (О, 0) плоскости F переходит в точку (1, 0) плоскости К. 1оэтому величина фр на плоскости К равна полному углу поворота (fx радиуса-вектора V, проведенного из точки (1, 0) в точку \к, ф) при изменении ш от О до оо.

В(1.0)

Рис. 4.11

Годографы вектора К (ico), построенные на рис. 4.11, являются АФХ разомкнутого четырехполюсника рис. 4.96.

Теперь сформулируем критерий Найквиста: состояние равновесия замкнутой системы является устойчивым, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (1,0). Следовательно, рис. 4.11а соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а рис. 4.116 и в - устойчивым.

в большинстве случаев АФХ коэффициента передачи K(i(i)) представляет замкнутую кривую, проходящую через начало координат из-за того, что при (й = 0 и и = оо К=0. При сй=0 это имеет место, например, если одни части схемы отделены от других разделительными конденсаторами; при и=оо это является следствием наличия у любого прибора выходной емкости, включенной параллельно нагрузке.

Строго говоря, рассмотренный метод пригоден лишь для анализа устойчивости линейных цепей. В [22] показано, что данный метод можно применять и для приближенного определения стационарных режимов автоколебаний и их устойчивости в автоколебательных системах, характеризующихся медленным ( малым за период колебаний) изменением амплитуды. Для этого нужно снять и построить семейство АФХ при различных амплитудах U, входного сигнала, определяя Ку как средний по первой гармонике коэффициент передачи усилителя (см. § 2.3). В большинстве случаев величина Ку уменьшается с ростом амплитуды Ui. Поэтому АФХ, снятые при разных f/, (C/i < f/ i < C/ i), оказываются вложенными друг в друга, как показано на рис. 4.12.

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Поскольку автоколебания начинаются с малых амплитуд (Ui - Ui), состояние равновесия такой системы является неустойчивым, колебания в ней должны нарастать и притом на частоте <оо, на которой фаза коэффициента передачи K(ia) ф=0. Когда амплитуда достигнет f7i = f/ i, в схеме установятся стационарные автоколебания, соответствующие точке Л(1, 0). Если АФХ снимать при большой амплитуде Ui = U \, то может быть сделан неправильный вывод о том, что состояние равновесия является устойчивым. Поэтому для оценки устойчивости состояния равновесия нелинейной цепи АФХ следует снимать при малой амплитуде входного сигнала.

В усилителях и автогенераторах годографы K(icu) обычно имеют характер кривых, приведенных на рис. 4.1 la, б и 4.12: они оказываются замкнутыми и притом такими, что если годограф пересекает ось абсцисс в точке (/С>1, ф=0), то щфО и состояние равновесия оказывается неустойчивым. В таких условиях возможен более простой аналитический подход к оценке устойчивости состояния равновесия.