с состоянием равновесия х=у=0. Линеаризация уравнений {dx/dt=y и

dy/dt--х) приводит к общему уравнению возмущенног© движения

с мнимыми корнями характеристического уравнения, что означает неасимптотическую устойчивость состояния равновесия линеаризованной системы и, как следствие, необходимость анализа устойчивости нелинеарнзованиой системы.

Выберем знакопеременную (определенно-положительную) функцию Ляпунова вида

V(x, у)=ху\ (4.98)

Производную по времени функции Ляпунова вычисляем как производную сложной функции

dV dV d дУ dy dt ~ дх dt ду dt

Используем (4.98) и (4.97) dV

~ = 2х (у-2х)-2у (х+Ъуз) =-а {2xh+Sy-).

Производная dV/dt оказалась знакоопределенной функцией противоположного с F знака - определенно-отрицательной. Следовательно, в силу упомянутой выше второй теоремы Ляпунова состояние равновесия нелинейной системы асимптотически устойчивое.

4.3. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Как было показано выше, процессы, происходящие в автоколебательных системах, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Точных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений (за редким исключением) не существует. В связи с этим было разработано большое количество разнообразных методов приближенного анализа нелинейных цепей. Каждый метод обладает определенными преимуществами при решении некоторых задач, уступая другим в иных случаях. Даже при исследовании одной и той же схемы автогенератора в зависимости от режима его работы, интересующих нас вопросов, от требуемой точности и наглядности решения приходится применять различные методы.

Наиболее распространенными методами являются: метод линеаризации; квазилинейный метод (метод гармонической линеаризации); метод медленно меняющихся амплитуд; метод фазовой плоскости; метод малого параметра; метод математического моделирования. Каждый из этих методов обладает рядом разновидностей.

Метод линеаризации заключается в замене нелинейных зависимостей линейными, что возможно только для малых возмущений (отклонений). Применяется в основном при исследовании условий устойчивости и условий самовозбуждения. Для исследования поведения системы при больши>( амплитудах (стационарные автоколебания, переходные процессы) не пригоден. Этот метод использовался в § 4.2.

Квазилинейный метод, получивший наибольшее распространение для инженерных расчетов стационарных релшмов автогенераторов (пригоден и для изучения переходных процессов), основан на исследовании соотношений между

первыми гармониками токов и напряжений и замене нелинейного элемента эквивалентным линейным, характеризуемым средним по первой гармонике параметром. После такой замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может исследоваться методами линейной теории (например, методом комплексных амплитуд). Нелинейность схемы проявляется в зависимости среднего параметра от амплитуды. Квазилинейный метод применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим.

Квазилинейный метод разработан Ю. Б. Кобзаревым, другой его вариант - С. И. Евтяновым; в последнее десятилетие благодаря работам Е. П. Попова, Л. С. Гольдфарба н других получил широкое развитие в теории автоматического регулирования под названием метода гармонической линеаризации.

Метод медленно меняющихся амплитуд, так же как и квазилинейный, пригоден для исследования колебаний, близких по форме к синусоидальным. Такие колебания в большинстве случаев являются следствием использования высокодобротных контуров. Для последних характерно сравнительно медленное изменение во времени амплитуды и фазы колебаний :(малое относительное изменение этих параметров за период колебаний). Использование этой особенности позволяет упростить и понизить порядок нелинейного дифференциального уравнения, описывающего работу схемы.

Метод широко используется при исследованиях разнообразных нелинейных систем, в том числе при анализе стационарных и переходных процессов в автогенераторах.

Метод медленно меняющихся амплитуд впервые был предложен и применен для исследования автогенераторов голландским физиком Ван-дер-Полем. В последующем трудами советских ученых (Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папа-лекси, А. А. Андронова, Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, К- Ф- Теодорчнка н др.) был создан ряд разновидностей этого метода.

Метод фазовой плоскости является графическим методом, используемым для анализа стационарных и переходных процессов по интегральным кривим нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод является более общим, чем упомянутые выше, пригоден для исследования как синусоидальных, так и несниусоидальных (релаксационных) колебаний. Недостатки метода состоят в необходимости выполнения трудоемких построений и отсутствии аналитических решений.

Метод фазовой плоскости был разработан для решения задач небесной механики выдающимся французским математиком А. Пуанкаре н развит применительно к задачам радиотехники А. А. Андроновым и другими.

Метод малого параметра основан на отыскании решения нелинейного дифференциального уравнения в виде ряда по степеням малого параметра. Метод пригоден для определения параметров стационарных колебаний. Используется при теоретических исследованиях автоколебаний.

Метод первоначально также был разработан для изучения движения плане г (А.Пуанкаре и другие). Дальнейшее его развитие связано с работами А. А. Андронова, Л. И. Мандельштама, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митро-польского н других советских ученых.

Математическое моделирование основано на формировании уравнений, описывающих процессы в нелинейных цепях, в виде, удобном для решения иа вычислительной машине, и выполнении исследований с ее помощью. Преимущества этих методов возрастают по мере повышения порядка нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы. Нередко они являются единственно возможными.

В следующих параграфах рассматриваются основные черты наиболее распространенных методов (квазилинейного, медленно меняющихся амплитуд, фазовой плоскости), а также вытекающие из их применения общие особенности автогенераторов. Вопросы машинного анализа нелинейных цепей вынесены в гл. 7. 144

4.4. квазилинейный МЕТОД

Рис. 4.21

стационарный режим автогенератора

Квазилинейный метод, как уже упоминалось, является основным инженерным методом анализа автогенераторов синусоидальных (точнее, почти синусоидальных) колебаний. На рис. 4.21 приведена обобщенная схема генератора с контуром в выходной цепи усилителя, активным элементом (АЭ) которого могут быть электронная лампа (триод, тетрод, пентод), биполярный или -л/ полевой транзистор. Благодаря значительной добротности (обычно порядка 50-200) колебательные контуры генераторов обладают большой избирательностью. Поэтому даже тогда, когда выходной ток усилителя сильно отличается от синусоидального из-за нелинейности АЭ, напряжения на контуре Uk и на входе АЭ Ыв оказываются почти синусоидальными, лишь незначительно отличающимися от их первых гармоник

UkI и Ыв1.

Квазилинейный метод применяется для исследования автогенераторов и других устройств, в которых напряжения (или токи) мало отличаются от гармонических. Он состоит в замене соотношений между токами и напряжениями в схеме соотношениями между их первыми гармониками. Поскольку эти величины являются гармоническими одной частоты, их можно характеризовать комплексными амплитудами, связанными между собой комплексными уравнениями. Решая последние, можно определить амплитуды и частоты стационарных колебаний, условия самовозбуждения, исследовать переходные процессы и т. п.

Анализируемый генератор состоит из двух частей: нелинейной АЭ) и линейной (контура и катушки связи). Запишем соотношения между комплексными амплитудами первых гармоник токов и напряжений. Нелинейный элемент будем характеризовать средней крутизной, определяемой отношением комплексных амплитуд тока /к! в выходной цепи АЭ к амплитуде напряжения возбуждения 17в1 н.а входе АЭ:

(4.99)

Вследствие нелинейности АЭ Sep зависит от амплитуды Ubi-Пренебрегая влиянием напряжения Uki на ток /кь получим из (4.99)

/к1 = Scpf/Bl.

(4.100)