4.5. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД укороченные уравнения

Данный метод, так же как и квазилинейный, применим в тех случаях, когда возникающее колебание близко по форме к гармоническому, что обычно имеет место при использовании в автогенераторе контура с достаточно высокой избирательностью. Уравнение, описывающее процессы в таких схемах, может быть записано, в виде

+ ,.( ,). (4.М8>

Подобными являются встречавшиеся ранее уравнения генератора с внешней обратной связью (4.8) и генератора на туннельном диоде (4.79). Если перенести в правую часть уравнения (4.148) озо и добавить в обе части соы (где со - частота генерируемых колебаний, которая может отличаться от соо), получим

+ = ,( ,), (4.Ш)

Как известно, чисто гармонические колебания вида и- =Лсо5(оз-ф) являются решением уравнения контура без потерь

+ со = 0, (4.150);

которое получается из (4.149) при /(ы, dufdt)=0. В генераторах f(u, du/dt)0, а потому решение (4.149), строго говоря, не может быть гармоническим.

Однако, когда f{u, du/dt) близка к нулю, т. е. уравнение (4.149) мало отличается от (4.150), следует ожидать, что и решение этих уравнений различаются мало. Поэтому прежде чем применять метод медленно меняющихся амплитуд к исследованию уравнения вида (4.149), следует убедиться в малости f{u, du/dt) по сравнению с другими слагаемыми. Рассмотрим в качестве примера уравнение генератора (4.8), заменяя в на и. Полагаем, что генератор работает в мягком режиме, и аппроксимируем его вольт-амперную характеристику в рабочей точке выражением Ф(ы)=5ы- зы. Подставляя крутизну Ф(ы)=5-ЗязЫ в (4.8), получаем

+(2 ,-bY )-f + = 0. (4.151)

где Оэ определяется из (4.11), а

y=3asM/LC. (4.152)

Непосредственно по (4.151) установить, при каких условиях среднее слагаемое значительно меньше каждого из двух других,. 6-92 1вУ-

затруднительно, так как коэффициенты при переменной и ее производных не допускают сравнения вследствие их различной размерности. Замена переменной t на безразмерную переменную т=(й, имеющую смысл фазы колебаний, существенно облегчает рассмотрение вопроса. Подставляя

u-\-u = d

dt dx dt dt dt dx

в (4.151) и обозначая й==- и й= , получим с учетом (4.152) уравнение генератора в виде

--(4.153)

Мир гС )

Здесь d=r/aL - затухание контура, Mup=rCfS - величина взаимоиндуктивности, при которой происходит самовозбуждение колебаний; е=1-©Vw - относительная расстройка. Теперь все переменные {и, й и й) имеют одинаковую размерность, и в случае возникновения почти гармонических колебаний, близких к

ы=Л-оо8(т-ф), (4.154)

все они имеют приблизительно одну и ту же амплитуду. Поэтому степень влияния каждого слагаемого уравнения (4.153) на характер получающегося решения определяется величинами соответствующих коэффициентов. Так, если обратная связь не очень велика (М1Мщ12-3) и нелинейность сказывается не очень сильно (т. е. величина ЗазМи/гС - порядка единицы), то коэффициент при й имеет порядок величины затухания контура d (обычно d<Cl). Расстройка в генераторах в большинстве случаев очень мала (е<с1), поскольку ю близка к юо- Таким образом, обычно уравнение генератора (4.153) мало отличается от уравнения контура без потерь, что позволяет искать его приближенное решение в виде (4.154).

Если в (4.149) перейти к безразмерному времени т, то

u+u=F{u, и). (4.155)

Для уравнения (4.151)

Р{и,й)==--?-(2аэ+ти)+е . (4.156)

При F{u, ы)=0 решение (4.155) является гармоническим колебанием вида (4.154) с периодом колебания 2п. При этом

й=-Л sin (т-ф). (4.157)

Если F{u, й)фО, но принимает достаточно малые значения, можно решение (4.155) или и и й искать в виде (4.154) и (4.157), считая Л=Л(т) и ф==ф(т) медленно меняющимися функциями времени. Предположение о медленности изменения амплитуды и

Для того чтобы подчеркнуть малость функции F(u, й), уравнение (4.155) часто записывают в виде u+ =(ifi( , м), считая здесь ц<с1, а гцм. й) - одного порядка с ы и ы. Для (4.153) можно принять ц=й.

фазы колебания основывается на том, что в колебательных контурах относительное изменение этих величин за период колебаний оказывается порядка 3t/Q, а поэтому при больших добротностях Q эти изменения действительно небольшие. Поскольку из (4.154) производная

=-А sin (т-ф) +А cos (т-<р) 4-Лф sin (т-ф), (4.158)]

определение й согласно (4.157) означает наложение дополнительного условия

Л cos(t-ф) 4:Лф sin(t-ф) =0. (4.159)

Определяя теперь й из (4.157) и подставляя полученное выражение, а также (4.154) и (4.157) в (4.155), имеем

-А sin(т-ф) -ЬЛф cos(т-ф) =F[A cos (т-ф), -Л sin (т-ф)].

(4.160):

совместно два последних уравнения, обозначая

Решаем т-ф=ф:

= -sin- f (Лсоз-ф, -Лsinф),

= -cos f (Л cos -ф, -Л sin ijj). dx A

(4.161)

До сих пор никаких ограничений на зависимости Л(т) и ф(т) не накладывалось, поэтому (4.161) являются столь же точными, как и (4.155). Теперь наложим на эту систему ограничение: заменим скорости изменения Л и ф в пределах периода колебаний средними скоростями их изменения, т. е. примем

= -i- [Л (2п)-Am, = [Ф(2я)-Ф(0)],

что допустимо в случае медленности изменения этих величин, т. е. использования колебательных систем достаточно высокой добротности. Заменяя правые части (4.161) их средними значениями за период 2п, получаем

(4.162)

фд(Л)=--Г(Лсозф, -Л sin)sin(])dij3.

ЧГо(Л) = -/=(Лсо81Ь, -Л siniJ))cosi])diJ3.

(4.163)