Уравнения (4.162) называются укороченными, или уравнениями медленно меняющихся амплитуд и фаз, поскольку они справедливы в тех случаях, когда А и ц> медленно (мало) меняются за период колебаний. Из выражения (4.162) следует, что в обще м случае в процессе установления колебаний, т. е. при изменении амплитуды А, происходит изменение и величины d(p/dx. Следовательно, во время этого процесса мгновенная частота колебаний ъ/, определяемая как

- = --<и-о(А)],

также меняется.

Величины -2Фо(Л) и 2Wo{A) являются коэффициентами прн sinij) и cosijj разложения функции f (Лсо8г5, -Л81пг5) в ряд Фурье. Это означает, что для получения укороченных уравнений нужно в правую часть нелинейного дифференциального уравнения (4.155) подставить ы=Лсо8г5 и ы = -Л sin ijj, разложить полученное выражение в ряд Фурье и приравнять величину -2dA/dx коэффициенту ряда при sinijj и 2Ad(pldr коэффициенту ряда при cosilj.

Достаточно часто амплитуды первых гармоник функции f(y4cosij5, -ЛsinгJ5) можно получить с помощью элементарных тригонометрических преобразований. Так, в случае уравнения (4.151) из (4.156) имеем

Е{и, й) =-(2аэ-ЬУС082г5)Л sinгJ5--8Л cosij) =

= (2аэ +-уЛ) -sinгJ5-ЬeЛCOsгJ5-- А sm3ip. 4 ю 4 ю

Используя коэффициенты при sinij; и cosijj, получаем укороченные уравнения

2 = /2 ЛЛ- .2-=8

dx \ 4 / ш dT

или, возвращаясь к времени t=xfa, ]

2 tf 9 a)g -шо dt ы

(4.Ш4)

Переходим к исследованию укороченных уравнений.

стационарный режим

В стационарном режиме амплитуда Л и фаза ф постоянны. Положив в (4.164) dAldt=0 и d(pfdt=0, получим уравнения стационарного режима:

[ (2аэ-ЬЛ)Л=0, о-оо=0. (4.165), (4.166)

Из (4.165) получаем два значения амплитуды:

Л, = 0, Л2=К -8аэ/у. (4.167)

Из них первое соответствует отсутствию колебаний, а второе с учетом (4.152) - амплитуде

К = L- VS-rClM . (4.168)

полученной выше (4.141). Амплитуда ЛгтО, если

M>Af p=rC/5, (4.169)

что определяет условие самовозбуждения автогенератора. Зависимость стационарной амплитуды А от величины М, получающаяся из (4.168), соответствует рис. 4.266. При ЛГЛГкр единственным решением является Л1=0, при Л1>Мкр получаем два значения: Л1=0 и Л2=70. При Л=Л2 согласно (4.166) частота й)=юо-

Используя укороченные уравнения, можно проверить устойчивость стационарных режимов. Для этого предположим, что амплитуда А отклонилась на небольшую величину от стационарного значения Ло (им может быть Ау, или Лг):

Л=Ло-ЬДЛ. (4.170J

Подставляем (4.170) в первое из уравнений (4.164). Учитывая, что dAoldt=0, и пренебрегая из-за малости ДЛ, слагаемыми с ДЛ в степени выше первой, получим

2 -Ь2азД-t-Y V4 + Х V4 Д >1 = О.

Исключая подчеркнутые слагаемые, удовлетворяющие уравнению (4.165), получим:

-+а1ДЛ=0, (4.171)

ai=a+{3f8)yA\. (4.172)

Согласно критерию Рауса-Гурвица величина ДЛ, получаемая из решения {4.171), будет с течением времени затухать, т. е. колебание с амплитудой Лз окажется устойчивым, если

ai>0. (4.173)

Подставляя Л1 = 0 в (4.172), убеждаемся, что состояние равновесия является устойчивым, если аэ>0 или Л1<Л1ир, и неустойчивым, если аэ<0, т. е. выполняется условие самовозбуждения (4.169). Для Ло=Л2 из (4.172) и (4.167) ai= =2аэ, стационарный динамический режим согласно (4.173) является устойчивым, если аэ<0 или Af>Af p.

УСТАНОВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ГЕНЕРАТОРЕ

Для нахождения закона установления амплитуды колебаний -(0. воспользуемся первым укороченным уравнением (4.164), умножив все его слагаемые на Л:

меля правую и левую части на квадрат амплитуды А\ стационарных колебаний, используя (4.167) и обозначая

/C=(Л/Л2) (4.174)

приходим к уравнению ёК1(И=-2аз{1-К)К. Разделяем переменные:

= 2adt.

Интегрируя, получаем

= Cie

где Ci - постоянная

интегрирования. Находя К, подставляя его в (4.174) и принимая во внимание, что в автогенераторе 2аэ<0, получаем

(4.175)

Здесь Co=l/Ci. Обозначим через Л(0) амплитуду Л при =0. Из (4.175)

Со= (ААЦО))-!. Теперь закон изменения амплитуды записывается как

-2 з,

(4.176)

Рис. 4.33

При заданной величине 2аэ характер изменения амплитуды во времения определяется соотношением стационарной и начальной амплитуд. Во всех случаях при - -оо Л- -Л2. Если Л (0) <Л2, то амплитуда Л монотонно возрастает, приближаясь к Л2, как показано на рис. 4.33. Когда амплитуда колебания нарастает, начиная с очень малой величины Л(0), обязанной наличию флуктуации, т. е. когда Л2/Л(0)>1,

Солулчо).

(4.177)

Пренебрегая для начального этапа нарастания амплитуды единицей в знаменателе выражения (4.175), получаем

Л = Л(0)е *

(4.178)

- экспоненциальный закон нарастания амплитуды. Причина этого состоит в том, что при малых амплитудах генератор ведет себя как линейный колебательный контур с отрицательным затуханием, а в последнем нарастание амплитуды колебаний происходит ЕС экспоненте. При больших амплитудах сказывается нелиней-166