ность генератора, в результате чего происходит постепенное приближение к амплитуде Лг-

Теоретически время установления колебаний у, как следует из (4.176), бесконечно большое, если Л(0) отличается от Лг. Обратимся к вычислению времени установления для случая Л2М(0)::1, определив ty как время, в течение которого амплитуда Л нарастает до О.ЭЛг. Используя (4.176), запишем (4.175) как

1 , А\ -КУЧ

Л!1или2 = е *. (4.179) А (0)

Л(0)

Отсюда время установления колебаний

fy= -1п2 = -к2- . (4.180)

аа Л(0) 2аз Л (0)

Отношение Л2/Л(0) обычно бывает порядка 10-W. Поэтому даже тогда, когда регулировка параметров схемы в широких пределах вызывает изменение амплитуды Лг в 2-3 раза, величина

Ig 2 изменяется незначительно. Рассмотрим зависимость ty

от аэ, представив последний как

1аз1Н.МЛ.5-.С)==> 5(М-) = (-1).

(4.181)

Полагая, что при регулировке параметров схемы частота юо остается неизменной, убеждаемся в том, что увеличение М или 5 приводит к уменьшению у; уменьшение добротности контура Q (за счет увеличения г или С) вызывает увеличение у, если же при этом изменять М так, чтобы Л1/Л1кр=const, время установления у уменьшится.

Время установления колебаний у при неизменных аэ и Лг зависит от начальной амплитуды Л(0), определяемой флуктуацион-ными процессами: при меньших Л(0) ty возрастает. Как правило, при каждом включении генератора Л(0) оказывается разной, а потому различными оказываются и у.

Покажем теперь, что общее уравнение переходного процесса (4.123), полученное квазилинейным методом, приводит в рассмотренном случае мягкого режима самовозбуждения к тому же закону (4.176) изменения амплитуды Л во времени. Для этого достаточно показать, что (4.123) сводится при кубической аппроксимации вольт-амперной характеристики нелинейного элемента к первому из укороченных уравнений (4.164). Используя принятое здесь обозначение (U=A), перепишем (4.123) в виде

JA±JSR)a. (4.182), 3

Для мягкого режима Scp=S- - изЛ. В стационарном режиме с амплитудой Лг средняя крутизна

Scpo=S-f азЛа. (4.183) 4

Подставляя 5ср и Scpo в (4.182), получаем

Преобразуя правую часть (4.184) с использованием соотношений (4.118), (4.167) и (4.152), получаем первое из укороченных уравнений (4.164).

Как уже отмечалось, метод медленно меняющихся амплитуд, как и квазилинейный метод, применим для рассмотрения автоколебательных систем, колебания в которых близки к гармоническим. Оба метода в конкретной схеме позволяют получить одни и те же результаты (в отношении условий самовозбуждения, стационарных режимов и их устойчивости, переходных процессов). Сопоставляя эти методы, отметим, что квазилинейный метод требует лучшего понимания происходящих в схеме процессов как при составлении, так и при анализе уравнений стационарных и переходных режимов. в нем широко используются характеристики, распространенные в инженерной практике (колебательные, средней крутизны, средней проводимости и др.), а получающиеся решения имеют более общий характер: они не связаны с конкретным видом характеристики нелинейного элемента, поскольку не требуется предварительная аппроксимация последней.

4.6. метод фазовой ПЛОСКОСТИ

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ, ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Метод фазовой плоскости является качественным методом интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, получившим широкое применение в радиотехнике и теории автоматического регулирования. При решении дифференциальных уравнений второго порядка появляются две постоянные интегрирования, для определения которых требуется задание двух независимых начальных условий. в качестве последних чаще всего используются значения функции и ее производной в некоторый момент о-Эти начальные условия могут быть заданы в виде координат плоскости состояний системы, характеризуемых величинами х, у. Плоскость X, у называется фазовой плоскостью. Последующее изменение координат плоскости происходит однозначно в соответствии с решением дифференциального уравнения, т. е. по определенной траектории на плоскости. Каждая точка этой траектории полностью определяет состояние системы в некоторый момент времени t. Уравнения рассмотренных выше автогенераторов, содержащих контур LC, могут быть записаны в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка:

(4.185),

Если исходное уравнение

(4.186)

то его также можно записать в виде двух уравнений первого порядка:

dt

g = -®(x)f/-coV.

(4.1,87)

Уравнения (4.187) являются частным случаем уравнений (4.185), когда

Р{х,у)=у, Q{x, у)=~(ооХ-Ф{х)у. (4.188)

Откладывая по координатным осям (рис. 4.34) переменные х и у, получаем фазовую плоскость, точки которой определяют состояние системы. Начальным значениям x\t =XQ и y\t=y(, на плоскости соответствует точка Мо, называемая изображающей точкой, которая характеризует состояние системы в момент о- Так как X и у изменяются во времени согласно (4.185), к моменту t\>to изображающая точка пе- реместится в М\ (с координата- ми Xi и у\). Траектория перемещения изображающей точки по у фазовой плоскости называется фазовой траекторией.

Скорость перемещения изображающей точки по фазовой траектории называют фазовой скоростью. В любой точке фазовой плоскости эта скорость направлена по касательной к фазовой траектории, а величина ее выражается менения координат (4.185)

Vx=dx/dt=P{x, у),

Vy=dyldt=Q{x, у)

Рис. 4.34

через скорости из-

(4.189)

Vф=Vv\ + V = VP+Q. (4.190)

На рис. 4.34 в точке построен вектор фазовой скорости V., и его компоненты и Vy. Направление перемещения изображающей точки, указываемое стрелкой, определяется знаками Vx и v,j. Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется фазовым портретом.