\ Обозначаем далее д=у, dy/dt=y, dy/dx=y и подставляем (6.30) и (6.29) в (6.27):

I, + (H-mcos2T)f/=0. (6.31)

Введем обозначения: затухание контура d=r/cuL=2<ii,

* = coVco 26 = m(oV© (6.32)

Величина b характеризует отношение частот, а 26 при задан-

ном> 6 - глубину модуляции параметра. Теперь (6.31) приобретает вид

y+2diy+{b+26cos2x)y=0. (6.33)

Уравнение (6.33) отличается от (6.28) наличием слагаемого 2diy и совпадает с ним для контура без потерь (d=2di = 0). Подстановка

ye-!x (6.34)

позволяет исключить это слагаемое. Действительно, находя у= g-d,T-cfie Ал, y=ex~2die-4+die-x и вводя эти выражения в (6.33), получаем уравнение Матье (6.28), в котором

a=bdh = (ii\fa--dh. (6.35)

Из теории уравнения Матье известно, что его решение может быть представлено суммой двух линейно независимых решений

л;=Л eФ(т)--Бe-Ф(-г), (6.36)

где А и В - произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий; Ф (т) и Ф (-т) - периодические функции с периодом п или 2п или соответственно с частотами н 1:Или сйн/2=(о; р, - коэффициент, зависящий от величин с и б, который может быть мнимым или действительным.

Если (X - действительная величина любого знака, амплитуда одного из слагаемых (Ае или Ве~) неограниченно возрастает. Следовательно, условие самовозбуждения параметрического контура без потерь можно записать как

Кец=?0. (6.37)

(На рис. 6.5 на плоскости а, б построены области неустойчивости, внутри которых коэффициент (х имеет действительные значения, причем с удалением от границ внутрь области величина Re ц возрастает. Границам областей соответствует х=0. Области неустойчивости стягиваются к точкам оси абсцисс, в которых а=п, где п=\, 2, 3,... По величине п принято нумеровать области неустойчивости. Если параметры с и б уравнения (6.28) соответствуют какой-либо из областей неустойчивости, имеет место само-

Если соГ=л (где Г -период колебаний), то 7 =л/со=2л:/сон, и частота

колебаний равна Шн. Если Г=2я, то 7 =-- и частота колебаний равна

*>=(0вУ2.

возбуждение колебаний. В точках, расположенных вне этих областей, коэффициент р, оказывается мнимым, при этом колебания не нарастают.-Характер областей одинаков при б>0 и б<0; поэтому области неустойчивости в нижней полуплоскости опущены.

Рис. 6.5

Параметрическое возбуждение в контуре без потерь {d\ - Q) возможно при сколь угодно малых значениях б (а значит, и т) на частотах, на которых а=п. Поскольку cuh=2cu, согласно (6.35) это имеет место при

сйн=2сйо/п. (6.38)

Следовательно, согласно рис. 6.5 параметрическое возбуждение можно осуществлять, изменяя параметр с частотой cuh=2cuo. соо, 2сйо/3,... Для контура с потерями согласно (6.34) и (6.36)

у=А е<\-лг)хф (т;) + в е-(+г)Ф (-т) (6.39)

и один из показателей экспоненты будет положительным тол1}КО в том случае, если ц - величина действительная и притом такая, что

\[i\>d,. ,(6.4fl)

Области иеустойчивости для (6.33) ограничиваются пороговы-

1,0 0,8

0,5 1,0 Рис. 6.6

U5 2fia

ми кривыми (x=di. Эти кривые находятся внутри областей (х=0, причем в областях, соответствующих большим значениям п, их низшие точки соответствуют большим б, которые будем обозначать далее бп. Сказанное иллюстрируется пунктирными линиями рис. 6.5, ограничивающими области возбуждения для и=0, 1, и рис. 6.6, на котором приведены границы областей возбуждения первой зоны для нескольких значений и. Координаты нижних точек, вычисленные для нескольких областей неустойчивости в предположении небольших (х.

tt приведены в табл. 6.1. При оценке условий самовозбуждения полагаем (х=1= ~dl2.

Таблица 6.1

Для обычно применяемых контуров с затуханием rf<Cl можно приближенно считать

a-a\/wn\ (6.41)

а йеличины бя согласно (6.32)

ёп0,5тп\ (6.42)

Теперь условие параметрического возбуждения в низших точках областей неустойчивости оказывается

О.бтпбп . (6.43)

m>im p=26n/n2. (6.44)

В этих выражениях бп подсчитываются по формулам табл. 6.1, полагая n=d/2. Например, для первой зоны (п=1)

f. m=2d. (6.45)

Ранее эта формула была получена из энергетических расчетов. Характеристики б (а) рис. 6.6 называются пороговыми, поскольку они определяют зависимость от расстройки.

В табл. 6.2 указаны: частоты накачки сон, соответствующие низшим точкам областей неустойчивости, выражения для т, полученные из (6.44), и результаты расчета по ним величины /Пкр

< Таблица 6.2