Таким образом, спектр узкополосных сигналов угловой модуляции аналогичен спектру простейшего AM колебания, показанному на рис. 1.2. Он содержит компоненты несущей частоты шо и двух боковых частот шо+й и шо-Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является индекс модуляции М. Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, как и при AM: она paiBna удвоенной частоте модуляции.

Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от AM колебания, что является следствием различия в знаках (т. е. в сдвиге фаз на 180°) компонент нижней боковой частоты Б выражениях (1.30) и (I.IO). Это означает возможность преобразования AM колебания в узкополосное ФМ колебание поворотом фазы одной из боковых частот на 180°. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.8а построена векторная диаграмма AM колебания. Изменяя фазу нижней боковой частоты на 180°, получаем векторную диаграмму-рис. 1.86, на которой конец вектора результирующего колебания f/рез перемещается с низкой частотой Q по горизонтальной линии, что соответствует изменению фазы Дф(0. При этом несколько изменяется и амплитуда U. Однако при Дфтаж<С 1 изменение амплитуды пренебрежимо мало. Согласно рис. 1.86 tgДф=2(lf/в/Lo)sinQ/=tgЛsinfi/. Заменяя при малых М и Дф тангенсы их аргументами, получаем изменение фа--зы Дф() =M sin Q, соответствующее ФМ колебанию.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

При широкополосной угловой модуляции и выражения

(1.29) и (1.30) несправедливы. Приходится спектр колебаний определять непосредственно из (1.28). Выражения cos(MsinfiO и sin (М sin £2) являются периодическими функциями частоты Q, а потому они могут быть разложены в ряды Фурье. Первая из этих функций является четной, вторая - нечетной. В теории бесселевых

Спектры колебаний содержат сведения только об амплитудах спектральных компонент, тогда как характер сигнала зависит и от фазовых соотношений между ними. Следовательно, спектр колебания не определяет однозначно его характер.

(1.31>

irf= fcFfo- -fo W

функций [23] доказывается, что ряды Фурье для этих функций, имеют вид

cos{Ms.inQt) Jd(M) +2/2(Af)cos2Q+2/4(Af).cos4fit+...,

siH(M sin Qt) ==2/i (M)sin fi + 2/3(M)sin ЪШ+...,

где / (M) - функция Бесселя первого рода п-го порядка от аргумента М. На рис. 1.9 приведены графики функций Бесселя Jn(M),. Подставляя (1.31) в (1.28), получим

u=Lo[/o(AI)cos(uo+/i(M)cos(cuo+fi)-/i(AI) cos(cuo-й)+

+ /2(Л1) cos (CU0+2Q) +/2(M)Cos (ио-2Q) f+

+ /з (M)cos (сйо+ЗЙ) -/з (М) cos (соо-ЗЙ) +...]. (1.32)j

Таким образом, спектр ЧМ и ФМ колебаний, модулированных гармоническим сигналом, оказывается дискретным, симметричным* относительно соо и содержащим бесконечное число боковых частот

вида сйо±пй с амплитудами

Л = С/о/п(Л1). Для M=4 он сг yi/= ,

построен на рис. 1.10. Соот- jd:* Js!

ношения между функциями о Бесселя различных порядков, а следовательно, и ме- o,ZUg жду амплитудами различных боковых компонент определяются индексом модуляции М. При некоторых значениях М отдельные компоненты могут исчезнуть (если Jn{M)=6). Это же относится к амплитуде несущей частоты Ao = Uo-foiM), которая обращается в нуль при M = 2,4; 5,6 ...

Наличие бесконечно большого числа боковых компонент спект-. ра означает, что теоретически спектр ФМ и ЧМ колебания явля-/ется бесконечно широким. Однако функция Бесселя Jn{M), начи-ь пая с некоторых n<iM, быстро убывают с ростом п, что видно на рис. 1.9 и 1.10. Это позволяет ограничить полезный (практический) спектр таких сигналов определенным количеством боковых f частот. При ограничении спектра необходимо учитывать влияние f> двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ос-лабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих. На практике выбирают компром1иссное решение.

Если ограничиться в спектре боковыми составляющими, амплитуды которых не превосходят q % от максимальной амплитуды спектральной компоненты Umax (см. рис. 1.10), то для каждого М можно рассчитать соответствующую ширину спектра. Она окажет-- ся несколько большей, чем 2MF=2Afg. Из рис. 1.10 следует, что при (7=20% для M=4 ширина спектра А/чм, фм =2{M+3)F= ==2(A/ -f3f). При больших индексах модуляции (порядка десят-

Рис. 1.10

ков и сотен) практическая ширина спектра, подсчитанная подобным образом, близка к удвоенной девиации частоты

Ачм.фм -2Ah2MF. (1.33)

Заканчивая рассмотрение вопроса о ширине спектра сигналов гармонической угловой модуляции, подчеркнем ее отличие от интервала частот 2Д/д, в пределах которого происходит изменение мгновенной частоты сигнала:

1) теоретическая ширина спектра А/чм.фм = °°;

2) практическое ее значение при M-Cl оказывается А/чм.фм~ = 2/2Д/д, а при Д:/чм,фм несколько превышает 2Л/д и лишь приближенно считается равной ей (1.33).

Рассмотрим влияние параметров модулирующего сигнала x{t)=Xcos,Q.t на спектры ФМ и ЧМ колебаний, используя для определения ширины спектра приближенное выражение (1.33). При изменении амплитуды X модулирующего сигнала спектры ФМ и ЧМ колебаний изменяются одинаково. При возрастании X происходит пропорциональное увеличение индекса модуляции, спектры расширяются за счет увеличения числа спектральных компонент.

Изменение частоты F модулирующего колебания по-разному влияет на изменение спектров ФМ и ЧМ колебаний. Прн ФМ изменение F не влияет на величину индекса модуляции, а следовательно, и на число спектральных соста.вляющих (рис. l.lla,б)Ч

0,4 0,2

м=г ом

Л,2-

fo

Рис. 1.11

При ЧМ с уменьшением F индекс модуляции увеличивается, что приводит к увеличению числа спектральных компонент (рис. 1.Ие, г). В итоге ширина спектра ЧМ колебания от частоты почти не зависит, а при ФМ изменяется пропорционально F.

На рис. 1.11 амплитуды спектральных, компонент нормированы относительно амплитуды Uo.