Главная >  Современные системы связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93

Тогда для большого числа цепей их уравнения сводятся к двум векторным соотношениям:

dx/di=f[x(0, хвозд(0. y(0=g[x(0. Хвозд(0, (7-3); (7.4) причем время t входит явно в функции f и g только в параметрических цепях. Если переменных состояния п, то (7.3) распадается на п одномерных дифференциальных уравнений первого порядка; одномерных компонент уравнения (7.4) столько, сколько откликов цепи. Функции f и g предполагаются однозначными. Во многих случаях (7.3) принимает вид

dx/dt =Ах+Р(х)Ч-Ф(0, (7.5)

где А - матрица, составленная из постоянных величин; вектор-функция F(x) характеризует нелинейные свойства цепи; Ф{i) описывает внешнее воздействие. Иногда оперируют с более общим уравнением

dx/dt=AF (х) -f Ф (О. (7.6)

Из приведенных уравнений видно, что отыскание откликов цепи на воздействие ХвоздСО распадается на два этапа: 1) интегрирование (7.3) с целью расчета x(t); 2) вычисление по найденному х и известному Хвозд вектора откликов y(t). В случае параметрического воздействия следует учитывать зависимость правых частей (7.3) и (7.4) от явного времени t.

Например, генератору на ТД (см. рис. 4.17) отвечает следуюшая система уравнений:

Е и г

вых = н -

Первые два уравнения, вытекающие из одного векторного уравнения, совпадают с (4.78) и (4.77); в третьем принято, что отклик цепи есть напряжение на нагрузке. В данном примере вектор состояния х= , вектор воздействия

- - Ф (ы) -Ь - i С С

Формы уравнений, не разрешенные относительно производных первого порядка. Уравнение (7.3) характерно тем, что слева входит производная первого порядка вектора состояния, которая явно вычисляется по функции f. Формирование уравнений состояния требует специальных операций на ЭВМ.

Однако требование записи уравнений в форме (7.3)-(7.4) не является обязательным; существуют машинные методы, обеспечивающие интегрирование уравнений, не разрешенных относительно производных. Подобные уравнения получаются, например, при анализе того же генератора -на ТД (см. рис. 4.17) методом узловых потенциалов. Выбирая в качестве базисного заземленного узла схемы нижний зажим источника Е в объединяя последовательно включенные индуктивности и сопротивления, получим схему рис. 7.1, на которой узлы пронумерованы. Уравнения составляют для узлов схемы, не связанных непосредственно с источником Е, т. е. для узлов 2 и 3: /2= =t- д -/с = 0, 1а = 1д+1с-1ь=0.


Рис. 7.1



Подставляя сюда связи между токами и напряжениями на индуктивности I емкости и учитывая (4.76), получаем систему двух нелинейных интегродиф-ренциальных уравнений генератора: >

-Ф(..- з)-С -- -> =0, ,

Ф( .- а) + С-и з = 0.

---система непосредственно интегрируется на ЭВМ и ее решения определяют потенциалы узлов 2 я 3, т. е. функции 2(0 и Мз(0- Выходное напряжение irn после этого может быть также рассчитано.

7.3. РАЗЛИЧИЯ В МАШИННОМ ИССЛЕДОВАНИИ ОТДЕЛЬНЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ. АПРИОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Характер и сложность машинного исследования и расчёта нелинейной цепи определяются не только тем, что мы хотим рассчитать (например, переходный или стационарный режим), но и особенностями самой цепи. Оказывается, что с этой точки зрения можно выделить некоторые важные классы нелинейных устройств. Кратко рассмотрим их и укажем особенности их машинного исследования, i

Конвергентные и неконвергентные цепи. Важнейший способ машинного расчета нелинейной цепи основывается на интегрировании дифференциальных уравнений, например, вида (7.3) одним из численных методов. В зависимости от начальных условий в нелинейной цепи могут возникать различные стационарные режимы. Поэтому при различных параметрах процесса интегрирования на ЭВМ и при введении в ЭВМ различных начальных значений он может привести к различным стационарным режимам, возможным в исследуемой цепи.

Цепи называются конвергентными, если с течением времени все траектории на фазовой плоскости,. отображающие переходные режимы в цепи, стремятся слиться в одну. В противном случае они считаются неконверентными. Математическое определение конвергентной цепи таково. Рассмотрим две векторные функции времени xi(t) и X2(t), являющиеся двумя решениями уравнений цепи при разных начальных условиях xi(0) и Х2(0). Определим норму разности этих решений (см. приложение 2) xi(0-Х2(011-Цепь является конвергентной (по Л. В. Данилову), если

lim Их, (О-Х2 (011 = 0, (7.7)

какова бы ни была пара векторов начальных условий и какое бы воздействие не было приложено.

Под параметрами процесса интегрирования понимаются постоянные, от которых зависит данный алгоритм интегрирования; типичным таким параметром является шаг интегрирования.



Таким образом, если исследуемая цепь является конвергент иой, то при любых параметрах процесса интегрирования рано или поздно установится интересующий нас режим. /

Диссипативные и недиссипативные цепи. Если рещения дифференциальных уравнений, описывающие колебательный режим в нелинейной цепи, оказываются в некотором смысле ограниченными, то это сильно упрощает машинный расчет. Сведения об этЬм желательно получить до того, как задача поставлена на машину. Цепь называют диссипативной, если может быть выбрано такое число N, не зависящее от начальных условий, что пpeдeJi, к которому при .->оо стремится норма решения уравнения (7.3), будет меньше ЛА: limx() <ЛА. При этом внешние воздействия

должны быть ограниченными.

Оказывается, что если к диссипативной цепи приложено периодическое воздействие, то в ней возможно установление хотя бы одного (а может быть, и более чем одного) периодического режима. Значит, зная заранее, что цепь диссипативна, мы можем уверенно рассчитывать на ЭВМ периодическое решение.

Цепи, обладающие одновременно свойством конвергентности я диссипативности, обладают важной особенностью: если к ним приложено периодическое воздействие частоты fo, то обязательно устанавливается единственный периодический режим частоты /о, устойчивый при любых начальных условиях. Поэтому предварительное (перед началом работы на ЭВМ) установление диссипативности и конвергентности цепи сильно упрощает ее машинный расчет.

Установлено, например, что любая нелинейная цепь, диссипативна и конвергентна, если 1) она содержит линейные резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и элементы взаимоиндукции; 2) в цепи включены источники напряжения и тока произвольной формы, но ограниченные по величине; 3) в качестве нелинейных элементов используются нелинейные резисторы с монотонными ВАХ Ф (х) (производная Ф (х) имеет неизменный знак).

Автономные и неавтономные цепи. Согласно определению гл. 4 автономные цепи характерны тем, что к ним не приложено внешнее воздействие; остальные цепи - неавтономные. При расчете неавтономной цепи, когда к ней приложено периодическое воздействие известного периода, и к тому же заранее известно, что цепь диссипативна и конвергентна, частота единственного периодического режима цепи точно определена: она равна частоте воздействия. Поэтому машинный расчет периодических режимов неавтономных цепей при прочих равных условиях проще, чем автономных.

Нелинейные цепи с малым и большим разбросом постоянных времени. Пусть нелинейная цепь описывается уравнениями (7.5) и (7.4) и нелинейность невелика. Тогда многие особенности ее

Разумеется, некоторые условия на процесс интегрирования все же накладываются, например, он должен быть устойчивым.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93