Главная >  Современные системы связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93

машинного расчета связаны с тем, близки ли друг к другу собст-в1шные числа (см. приложение 2) матрицы А или же они образуют две группы малых и больших собственных чисел. В н е-лАейных радиотехнических цепях, в частности, содержащих уз-коколосные контуры и фильтры, часто встречается последний случай; в таких цепях отношение модулей некоторых собственных чи-селсоставляет IC и более.

Вместо разброса собственных чисел К{а) часто говорят о раз-броЬе постоянных времени Тг(А). Последние определяются в соответствии с одним из соотношений:

Ti(A):=l/Xi(A), Ti(A) = l/Re>.i(A). (7.8>

Степень разброса постоянных времени исследуемой цепи должна б11ть хотя бы ориентировочно оценена до обращения к ЭВМ, так как она определяет выбор параметров процесса интегрирования уравнений системы.

Информация, касающаяся упомянутых выше особенностей цепи, составляет часть так называемой априорной информации о цепи, которая должна быть собрана до начала собственно машинного расчета.

7.4. РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ

Широкий круг вопросов, относящихся к расчету нелинейной цепи, связан с изучением динамики цепи, т. е. изменением во времени токов, зарядов, напряжений и т. п. Для установления этих вопросов приходится интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения цепи, рассмотренные в § 7.2. Ознакомимся с некоторыми формами и характеристиками методов интегрирования, связанными с особенностями цепей. Поскольку априорная информация о свойствах исследуемой цепи играет важную роль как. при выборе метода интегрирования, так и его параметров, этот выбор должен производиться инженером, решающим задачу расчета цепи.

Методы интегрирования дифференциальных уравнений можно разбить на явные и неявные. Явные характерны тем, что значение решения на некотором шаге итеративного процесса явно выражается через значения решения на предыдущем шаге (или шагах) в форме некоторого разностного соотношения. Неявные же методы требуют для расчета нового значения интеграла (т. е. интеграла на новом шаге) решения некоторой системы недифференциальных уравнений. Происходит это потому, что соответствующее разностное соотношение неявно определяет искомую величину.

Поясним это на примере одного из самых простых методов интегрирования - метода Эйлера (только этим методом мы и огра-



кичимся в дальнейшем). Пусть интегрируется уравнение состояния (7.3), которое запишем теперь /

dxldt=i(x, t). [7 9)

Поскольку внешнее воздействие Хвозд(0 известным образом зависит от времени t, то эта зависимость может быть учтена в функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения, и /аргумент Хвозд (О можно явно НС указывать. Новая функция в Ара-вой части для простоты обозначена в (7.9) так же, как и в (у.З), т. е. через f.

Из курса вычислительной математики известно, что решение векторного уравнения (7.9) задается как последовательность векторов х(0), x(At), x{2At), x(nAt), где Д -шаг интегри{!)Ова-ния. Сокращенно эта последовательность может быть обозначена как х[0], х[1],..., х[п],..., где прямые скобки указывают на дискретный характер переменной п.

В явном методе Эйлера значение решения на (n-f 1)-м шаге явно выражается через решение на предыдущем шаге:

x[n-i-li] =х[п] +Ati[x[n], п]. (7.10)

В простейшей форме неявного метода Эйлера имеем

х[п-М]=х[п]-ЬДй[х[п-Ы], п-Ы]. (7.11)

Здесь определяемый вектор х[п-}-1] входит в уравнение не только слева, как в (7.10), но и под знаком функции f. Если эта функция нелинейна, то (7.11) есть нелинейное алгебраическое или трансцендентное уравнение относительно х[п-}-1] и решать его приходится на каждом шаге интегрирования.

Казалось бы, последнее обстоятельство указывает на нецелесообразность применения неявного метода Эйлера (как и других неявных методов) при расчете нелинейных цепей из-за роста вычислительных затрат. Однако во многих задачах радиоэлектроники оказывается, что именно неявные методы интегрирования обеспечивают сокращение затрат на вьгаисления.

Чтобы уяснить это, вспомним, что подразумевается под устойчивостью вычислительного процесса - в нашем случае под устойчивостью процесса интегрирования. Известно, что всякий процесс вычислений подвержен действию своеобразных помех - ошибок, вызванных разными причинами. Для нас важнейшими из этих причин являются две: округление чисел в ЭВМ и то обстоятельство, что формулы интегрирования являются приближенными, причем точность приближения зависит от шага Д. Чем меньше шаг At, тем при прочих равных условиях меньше ошибка, называемая ошибкой усечения. Наоборот, ошибка, вызванная округлением, падает с ростом шага Д. Качественно зависимость ошибок округления (1) и усечения (2) и суммарной ошибки (5) от шага изображены на рис. 7.2.

Как известно, при некоторых условиях действие ошибок, сопровождающих вычисления на каждом шаге, накапливается; в 264



таких случаях говорят, что вычислительный процесс теряет устойчивость . При этом обычно оказывается, что приближенное решение дифференциального уравнения даже качественно не отвечает точному решению (пример см. на рис. 7.3, где цифрами 1 и 2 обозначено соответственно точное и приближенное - при потере устойчивости - решения x(t) некоторого дифференцмального уравнения).


Рис. 7.2

Рис. 7.3

Попытаемся выяснить [19] -условия устойчивости процесса интегрирования и их связь с параметрами цепи. Ограничимся для простоты случаем линейной цепи, однако и он весьма поучителен. Кроме того, допустим, что цепь - автономная, т. е. внешние воздействия к ней не приложены; поэтому правая часть (7.9) не зависит от t. Данное ограничение не является существенным, так как во многих случаях условия устойчивости можно определить по автономной модели [19].~-

Поскольку цепь принята линейной с постоянными во времени параметрами, то в (7.9)

dx/dt=i(x)=Ax, (7.12)

где А - квадратная матрица, составленная из констант; она полностью характеризует линейную цепь. Иными словами, (7.9) соответствует системе линейных дифференциальных уравнений:

dxifdt=aiiXi+...+aisXs

........ (7.13)

dXsldt=asiXi + ... +assXs

Критерий устойчивости явного метода Эйлера. Рассмотрим сначала устойчивость явного метода Эйлера. Подставив (7.12) в основной явный алгоритм (7.10), получим

х[п+1] =х[п] +МАх[п}== {l+AtA)x[n], (7.14)

где 1 - единичная матрица. Далее обозначим

F=l-fAA. (7.15)

Эта матрица, как видно из (7.14), полностью определяет алгоритм интегрирования; он зависит от шага и свойств цепи, отобра.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93