жаемых матрицей А. Итак, следующее значение вектора решения Х[п+1] получается из предыдущего Х[п] таким образом:

x[n+l]=Fx[n]. (7.16)

Напомним (см. § 7.3), что i-e собственное число некоторой матрицы V обозначается Хг(У)- Как доказывается в теории матриц, i(F) выражается через Яг (А) так:

Х{(Р) = 1-ЬАаг(А). (7,. 17)

Теперь нам понадобятся два факта из общей теории устойчивости. Первый относится к устойчивости цепей и, по существу, уже известен нам из § 4.2, но будет приведен здесь в иной форме. Критерий устойчивости линейной цепи, характеризуемой матрицей А, таков: действительные части всех собственных чисел матрицы А должны быть отрицатель-н ы. Иными словами, если

Xi(A)=.Oi + icoi, (7.18J

то для всех i должно быть

аг<0. (7.19)

Второй факт относится не к исследуемой цепи, а к алгоритму (7.16). Чтобы процесс интегрирования по (7.16) был устойчивым, т. е. чтобы не было неограниченного накопления действия ошибок, должно выполняться условие: модул1и всех собственных чисел матрицы F (не А!) должны быть менее единицы.

Подставив (7.18) в (7.17), получим собственное число и его модуль

?.i(F) = (1 +ЛоО -Ы Д/сог, IXi(F) I ==у1Т+Ш)ЧТЩи

(7.20), (7.21)

Условие устойчивости интегрирования будет

{l+Mai)+{M)(oh<l. (7.22)

Для устойчивой цепи (когда все 0г<О) получаем из (7.22)

At<2\ai\/(a\ + ai) для всех i. (7.23)

Итак, интегрирование будет устойчивым, если шаг интегрирования не превосходит некоторого критического шага (Дкр. Величина (Дкр, очевидно, равна наименьшей из всех правых частей (7.23). Критический шаг определяется тем собственным числом матрицы А, которое приводит к наименьшему выражению \ai\l (ai~\-ii>i) Чтобы сделать более ясным физический характер этого результата и вытекающие из него следствия, предположим, что все собственные числа А чисто вещественны: кг=аг для всех i. Обозначим наибольшее 1 Oil через Ofnaxj а наименьшее через Omin- Введем теперь постоянные времени цепи с помощью выражений (7.8)

тИА) = 1/ог. (7.24)

Минимальному по абсолютной величине собственному числу отвечает максимальная постоянная времени и наоборот.

Возвращаясь к основному соотношению (7.23) при сйг==0, получаем At<2\ai\/a{=2/\ai\ для ©сех i или

А<2/о ; (Д0кр=2/о ах=2ттгп, (7.25)

Гтгп=\/агпах. (7.26)

Итак, при явном методе Эйлера критический шаг, который нельзя превосходить из-за необходимости обеспечения устойчивости процесса интегрирования, равен удвоенной минимальной постоянной времени.

Расчет нелинейной цепи устойчивым явным методом Эйлера. Пусть сначала рассматривается переходный режим нелинейной цепи. Если все собственные числа вещественны, то длительность переходного процесса Гпер определяется максимальной постоянной времени Tmo3c=l/omin*. Можно считать, ЧТО Гцер ПО порядку равна нескольким Гтах, например Гпер=3ттоаж. Найдсм ЧИСЛО шагов интегрирования, необходимое для окончания расчета переходного процесса: Мпер=7пер/А; минимальное число шагов Миертгп, отвечающее наибольшему шагу, т. е. (Дкр, будет

Л1за:ертаги = ?пер/(ДОтаж = Тпер/(ДОкр~8Ттазс/2Ттгт= -цгах (7.27)

Ттая;

Величина Xmaxhmin обычно называстся разбросом постоянных времени. Поэтому мы можем сказать, что число шагов при расчете переходного режима по порядку равно разбросу постоянных времени. \

Соотношение (7.27) определяет число шагов из соображений, связанных с устойчивостью процесса интегрирования, когда шаг не может превышать (Д0кр=2ттгп- Но шаг определяется еще и ошибками интегрирования. Возвращаясь к рис. 7.2, замечаем, что для уменьшения ошибки интегрирования целесообразно выбирать шаг (Доит, обращающий суммарную ошибку в минимум. При этом число шагов Мпер обычно получается большим из-за малости шага. С другой стороны, вводимые в ЭВМ данные сами имеют погрешность, как правило, большую, чем та, которой отвечает шаг Ш)опт- Эти и некоторые другие соображения позволяют задать уровень ошибки 4 (см. рис. 7.2) большим минимального. Это отвечает двум шагам: {At)x и (A02>(A/i). Целесообразно выбрать конечно, шаг {At)i как больший. Таким образом, требования, связанные с допустимой ошибкой, приводят к шагу (At)2, а соображения устойчивости - к шагу (Лкр. Во многих случаях, особенно относящихся к высокочастотным радиоэлектронным цепям:

* Допускается нестрогость, так как понятие постоянной времени строго определено лишь для линейной цепи. В первом приближении для цепей со слабой нелинейностью можно считать, что рассматриваются постоянные времени линеаризованной части нелинейной цепи.

(ДОкр ; (ДО2- (7.28):

Поэтому не погрешность расчета, а устойчивость процесса интегрирования определяет велич1ину шага, и число шагов составляет уИпер по (7.27).

При большом разбросе постоянных времени число шагов и машинное время, необходимое для расчета переходного процесса на ЭВМ, могут стать недопустимо большими даже при высокопроизводительных современных ЭВМ. В высокочастотных устройствах, содержащих одновременно узкополосные фильтры и контуры и сравнительно широкополосные тракты (например, разделительные LRC-цепочки), нередко получаются TmaJtmin-10-=-10. Явные методы интегрирования (не только метод Эйлера) оказываются при этом неприменимыми.

До сих пор рассматривался расчет переходного режима. Пусть теперь к иелинейной цепи приложено периодическое воздействие периода Го и требуется определить стационарный периодический режим цепи. По соображениям достаточной точности интегрирования можно выбрать \М)1=аТо; коэффициент а, как показывает опыт расчетов, часто лежит в диапазоне 0,005-0,05. Минимальная же постоянная времени цепи Хтгп, определяющая критический шаг, в высокочастотных цепях нередко оказывается Ттгп= (10~-г--10 ) Го- В результате снова приходим к неравенству (7.28); необходимое число шагов интегрирования за период Го оказывается Мстац= Го/ (ДО кр = То12хшгп=Го/2 10- Го= 0,5 10. Обычно прихо-дится рассчитывать многие периоды решения, т. е. расчет ведется на интервале порядка многих Го (см. ниже § 7.5), поэтому в стационарном случае явные методы часто непригодны.

Затруднения, возникающие при применении явных методов, когда разброс постоянных времени велик, объединяют термином проблема постоянных времени .

Устойчивость неявного метода Эйлера. Обратимся к алгоритму неявного метода Эйлера (7.И) и опять ограничимся случаем линейной цепи (7.12), (7.13). Подставив (7.12) в (7.11), получим

х[п+1]=х[п]+Д.Ах[п-М], (7.29)

т. е. уравнение относительно х[п+1]. Рассматриваемая цепь линейна, поэтому решается оно без труда:

(1-ДА)х[п-М]=х[п]. (7.30)

Умножая обе части (7.30) слева на матрицу, обратную 1-ДА, получим выражение для решения на новом шаге через решение на предыдущем:

х[п+1]=(1-ДМ)-х[п]. (7.31)

Введя обозначение

Ф=(1-ДА)-, (7.32)

представим (7.31) в форме, аналогичной соотношению (7.16):

х[п+\]=Фх[п]. .(7.33)