Таким образом, матрица Ф полностью определяет алгоритм интегрирования уравнения нелинейной цепи неявным методом Эйлера; заметим, что теперь, чтобы найти Ф, требуется обратить некоторую матрицу на ЭВМ. Как показано в теории матриц, собственное число для Ф находится в силу соотношения (7.32) по формуле Хг(Ф) = 1/(1 даг(А)) [сравните С (7.17)!]

Полагая, как и ранее в (7.18), собственное число матрицы в общем случае комплексным, найдем Яг(Ф) = 1/[(1-АОг)-iAcoi]; модуль этого числа [Яг(Ф) = 1/ V (1 -AtGi)2-1- (At)ah-

Если сама исследуемая цепь устойчива, т. е. все Сг-<0, то все-

Яг(Ф)=1/К(1+Ааг)-Ь (Л0г<1.

Отсюда следует, что условие устойчивости процесса интегрирования линейных уравнений неявным методом Эйлера выполняется всегда, т. е. при любом (!) шаге Д.

Следовательно, при выборе шага можно руководствоваться только соображениями, связанными с погрешностью интегрирования (см. рис. 7.2). Как мы видели выше, это означает, что шаг At может быть выбран гораздо большим, чем тот, который обусловливался требованиями устойчивости и который характерен для-явных методов.

О выборе метода интегрирования (резюме). При выборе метода интегрирования нелинейной цепи необходимо прежде всего оценить порядок разброса постоянных времени хотя бы в грубом линейном приближении. Если этот разброс велик (>10), безусловно должны применяться неявные методы. В сложных или сильнонелинейных цепях оценка постоянных времени затруднена; в этом случае целесообразно из осторожности также использовать неявные методы.

Неявные методы позволяют работать со сравнительно большими шагами интегрирования Д, и это часто компенсирует необходимость разрешения уравнений типа (7.11) относительно x[n-fl].

Отметим, что при использовании неявных методов нет необходимости формировать уравнения нелинейной цепи в форме (7.3) - (7.4), а можно использовать непосредственно неявные уравнения , рассмотренные в § 7.2.

7.5. РАСЧЕТ НА ЭВМ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В НЕАВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ: НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Роль априорной информации. Рассмотрим теперь некоторые-особенности машинного расчета стационарных режимов в нелинейных цепях. Следующие обстоятельства осложняют расчет таких режимов: 1) возможное отсутствие стационарного режима (в част-

ности, периодического) при принятой идеализации цепи, например при выбранной аппроксимации нелинейных элементов; в этом случае машинный счет может продолжаться сколь угодно долго без !положительного результата; 2) сосуществование нескольких стационарных режимов; при этом расчет на ЭВМ может привести к любому из них, если не принять специальные меры; 3) отсутствие сведений о частоте колебаний, если система автоколебательная.

Чаще всего машинный расчет стационарного режима производят через переходный ; задают некоторые начальные условия и интегрируют дифференциальные уравнения цепи, получая решение .для нарастающих значений времени t. При небольших t это решение отображает переходный процесс приближения к стационар--ному (если последний существует), и лишь начиная с некоторого момента процесс можно считать стационарным.

Если априорная информация о цепи содержит сведения о том, что цепь конвергентна, то при любых воздействиях начальных условий машинный расчет всегда приведет нас к одному и тому же фешению. Неудачный выбор начальных условий может лишь увеличить необходимое для расчетов машинное свремя. Когда мы знаем, что цепь диссипативна, то при любом (конечно, устойчи-;вом) процессе машинного счета исключено появление неограни-ченно больших значений в массивах чисел, образующих решение, т. е. исключен останов из-за переполнения разрядной сетки ЭВМ.

В случае периодического воздействия на цепь информация о .дисоипативности означает, что в конце счета будет достигнут действительно установившийся режим, так как хотя бы один такой периодический режим обязательно устанавливается в цепи. Когда .же априорная информация о цепи, находящейся под периодическим воздействием, содержит указание одновременно и о конвергентности, и о диссипативности цепи, т. е. возможности реализа--ции единственного устойчивого периодического режима, то можно быть уверенным, что, начав с любых начальных условий, мы придем при устойчивых вычислениях к одному и тому же искомому ре-!шению. В случаях, когда периодических или иных стационарных решений несколько, и расчет вновь идет через переходный процесс, чрезвычайно важно знать, при каких начальных условиях устанавливается тот или иной периодический режим. Например, если требуется рассчитать выходные колебания в делителе частоты, отличающиеся начальными фазами (см. § 5.6), то в ЭВМ же--лательно вводить именно те начальные условия, которые приводят к колебанию с данной фазой. Поэтому на стадии задания априорной информации нужно хотя бы приближенно разбить множество начальных условий на области, обеспечивающие наступление того или иного периодического режима.

В заключение коснемся априорной оценки частоты автоколебаний в автономных системах. Точное значение этой частоты может быть получено лишь в результате самого машинного исследования (в частности, с учетом поправок за счет высших гармоник - см. § АА). Приближенная же величина может быть подсчитана 570

заранее по Собственным частотам контуров автогенератора. ГТри расчете стационарных режимов также важна априорная оценка разброса постоянных времени, определяющая выбор метода интегрирования, о чем было сказано выше.

Два подхода к машинному расчету стационарных режимов.. Один подход нам уже известен -это расчет через переходный процесс. Возможен и другой принцип расчета процессов в нелинейной цепи. Рассмотрим, например, расчет параметров автоколебаний в соответствии с методом медленно меняющихся амплитуд. Согласно (4.162) стационарный режим определяется решением уравнений:

Фо=0, %=0. (7.34)

Их можно решить на ЭВМ и найти параметры автоколебаний принципиально для сколь угодно сложных форм нелинейных характеристик, а не только для простых аппроксимаций.

Сопоставим эти два подхода. При расчете через переходный режим основным вычислительным процессом является интегрирование, продолжающееся до окончания переходного режима. Если стационарный режим устанавливается в исследуемой цепи медленно, что характерно для цепей с высокодобротными контурами, то даже при не очень малых шагах интегрирования машинный расчет займет много времени. С другой стороны, такой подход не требует никаких предположений о характере цепи; в частности, его можно использовать в схучае сильно нелинейных цепей. Если же говорить о втором способе, то здесь основная задача вычисления состоит в решении системы нелинейных алгебраических ил трансцендентных уравнений. Длительного процесса интегрирования можно избежать. Заранее трудно сказать, какой из двух подходов приведет к меньшим вычислительным затратам; выбор должен делаться применительно к конкретной задаче. В последующенг части этого параграфа будем иметь в виду только расчет через-переходный процесс.

Критерии стационарности (правила останова интегрирования;,. В ЭВМ должно быть введено правило, в соответствии с которым-машина должна принять решение об окончании переходного режима и наступлении стационарного. Таких правил известно несколько, но все они основываются на сопоставлении векторов решений х() на следующих друг за другом отрезках оси времени: [О, Т], [Т, 2Т],..., [пТ. (n-fl)r],... Здесь Г -период искомого-стационарного периодического решения уравнений (7.3). Напомним, что в неавтономных цепях Т может быть равно периоду воздействия То; быть кратным нли субкратным Го (при анализе делителя или умножителя частоты); определяться свойствами самой цепи, если она автоколебательная. В последнем случае на первых-стадиях проверки стационарности используется приближенная априорная оценка периода автоколебаний.

После того как действуя в соответствии с введенным правилом, ЭВМ приняла решение о том, что стационарное решение име-

2715