Колебание, получающееся при угловой модуляции негармоническим сигналом п

x{t) = XkCosQftt, можно записать в виде разности двух AM колебаний:

ы=Со008[сйоЧ-Аф(0]=оС108Д<р(0 coscof-LosinA<p(Osincuo (1.34)

Для определения спектра каждого из этих AM колебаний нужно знать спектры их огибающих, т. е. С08Аф() и 51пДф(0. Спектры A<f(t) при ФМ и ЧМ содержат те же частотные составляющие, что и первичный сигнал x{t). Поскольку со5Аф() и 51пАф() являются нелинейными функциями аргумента Дф(0, спектры этих функций будут заметно отличаться от спектра Аф(): они будут содержать составляющие кратных и комбинационных частот, возникающих при нелинейных преобра-ованиях (см. § 3.2). Соответственно эти компоненты будут перенесены в спектры боковых частот обоих AM колебаний (1.34).

В технике связи широко используется фазовая манипуляция (ФМп) переносчика с изменением фазы на 180°. Графики изменения фазы Аф() и ФМп напряжения показаны соответственно на рис. 1.12а, б. Аналитическое выражение последнего соответствует (1.34), т. е. сумме двух квадратурных колебаний частоты Юо; каждое из этих колебаний обладает амплитудной манипуляцией <АМп).

Ф -Рис. 1.12

Разложим огибающие этих колебаний в ряды Фурье.- Так как со8фш= = cos(-фщ), cosАф(О = const. Если фш=я/2, то со8Лф()=0, и первое из АМп колебаний в (1.34) обращается в нуль. Огибающая второй компоненты

/о8шЛф() = --8шАф(5ШЙ#+ -8in3fii+...), где Q=2at/T - частота Mail 3 нипуляции. Из (1.34) получаем для Дф=я/2

(О =-- Lo [cos (сооЧ-й) (С08 (соо-Я) t+ - COS (iBo-f-SQ) It 3

- cos(cuo-ей) t+ ...]. . (1.Э5)

Амплитудный спектр сигнала (1.35) построен на рис. 1.12в: он содержит только боковые частоты вида fodztiF (с нечетными и).

1.5. БИЕНИЯ. ДВУХПОЛОСНЫЕ И ОДНОПОЛОСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ НЕСУЩЕЙ

Биения. Они образуются в результате сложения двух гармонических колебаний близких частот. Рассмотрим сумму двух высокочастотных колебаний Ui=.Ui coscoi и 2= 2 cos сог, частоты которых мало отличаются друг от друга:

<02-(й1 = Й, Й<Ш1. (1.36)

Предположим, что амплитуда Ui>Ui. На рис. 1.13а построена векторная диаграмма суммарного колебания

U = Ui + U2=Ui cos (Ovt+U2 cos CU2

(1.37)

на плоскости, вращающейся с частотой <ui по часовой стрелке. Напряжение Ui изображается неподв1ижным вектором Ui, напряжение Ы2 - вектором U2, равномерно вращающимся с частотой Q

против часовой стрелки. Вектор, суммарного колебания U определяется геометрической суммой векторов Ui и U2. Его конец описывает на плоскости окружность радиуса U2. Периодическое с частотой Q изменение величины и фазы вектора U означает наличие амплитудной и фазовой модуляции. Это. позволяет представить суммарное колебание (1.37) как

= i7cos(cui-i-<p).

(L.38)

где U=\U{t) и ф=ф() -соответственно амплитуда и фаза колебания, периодически изменяющиеся с частотой fi, называемой частотой биений.

Когда конец вектора U оказывается над дугой 1-Oi-2, проведенной радиусом if/i из точки О, амплитуда U>Ui. Поскольку вектор U2 вращается на диаграмме с постоянной частотой Q, время, в течение которого U>Uu больше, чем то, в течение которого и I. Поэтому огибающая С/() колебания (1.38), построенная на рис. 1.136, несинусоидальна: продолжительность положительных полуволн больше, чем отрицательных, напряжение вблизи максимума изменяется медленнее, чем вблизи минимума, среднее значение амплитуды колебаний С/ср несколько больше, чем U\. Для меньших амплитуд IJ2 продолжительность положительного полупериода огибающей меньше отличается от продолжительности отрицательного, и огибающая ближе по форме к синусоидальной.

Перепишем (1.37) с учетом (1.36):

и~ (fyi-j-f/2 cos Qt) cos ©if-С/2 sin Qt sin ait.

Поскольку fi<C<oi, множители при cos coiif и sinaif можно рассматривать как медленно меняющиеся амплитуды этих компонент и записать сумму колебаний в виде (1.38). В этом случае

t/cos ф =f/,-ft/2 cos й, t/sinф=t/2sinйf. (1.39)

Амплитуда биений, определяемая из (1.39),

UVU + Uh+2UiU2COsQt=VUh + UVH-mcos Qt, (1.40)

где m = 2U,U2l{V\ + V\).

Для определения фазы <р делим выражения (1.39) друг на друга:

tgф=t/2SinЙ/(t/,--t/2COSЙ0 (1-41)

Выражения (1.40) и (1.41) подтверждают, что биения представляют собой колебание, одновременно модулированное по амплитуде и по фазе, и что огибающая биений несинусоидальна.

Рассмотрим два крайних случая: сильно отличающихся амплитуд U\ и f/2 и одинаковых амплитуд JJ\=<L!2- Если, например, t/2 :it/ величина m2U2lUi<§:l, V1 -f mcos Qt\ + {т/2)cos Qt, <p~ (ml2)smQt. Тогда UUi(l + cosQt). При малой глубине модуляции огибающая биений приблизительно синусоидальна, а индекс модуляции М~т/2. При равенстве амплитуд Ui и U2 т=\, амплитуда биений из (1.40)

t/=2t/,cos/, . (1.42)

и из (1.41) 1дф=1ду. Принимая Ф= t и, используя (1.36), находим мгновенную фазу колебаний

co.-Ьф=W+f = . (1.43)

Подставляя (1-42) и (1.43) в (1.38), получаем выражение для биений в виде AM колебания с несущей частотой, равной средней частоте суммируемых колебаний:

u=2U,cos-t co&it. (1.44)

Этому случаю соответствует штрихпунктирная окружность на рис. 1.13с и огибающая биений на рис. 1.13б. Амплитуда биений при т=1 изменяется от величины 2f/i = 2t/2 до нуля; в моменты

достижения амплитудой нулевого значения знак cos- меняется

на противоположный, что означает скачкообразное изменение фазы колебания на 180°.

Двухполосные (ДБП) и однополосные (ОБП) сигналы без несущей. Целесообразность использования таких сигналов была обоснована IB § 1.2. Исключая компоненты несущей частоты из выра-