Главная >  Современные системы связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93

-ет место, интегрирование дифференциальных уравнений прекращается. Далее имеются две возможности: 1) прекратить вычисления и вывести на печать массивы чисел, отвечающие некоторым или всем компонентам вектора рещения дифференциальных уравнений и вектора отклика y{t) на одном периоде Т; 2) некоторым предписанным заранее образом обработать эти массивы, например найти амплитуды и фазы гармоник рещения в разложении Фурье, мощности различных составляющих, средние крутизны и т. п.

Правило, в соответствии с которым прекращается интегрирование, может быть названо также критерием стационарности. Чаще -всего используются следующие критерии стационарности для х(/):

х((п-Ц)Г)-х(:пГ)<бь (7.35)

max J {Xi{t)-Xi{t + T))4t<e2, (7.36)

(n-l)T

числа 6i и 62 должны быть н;азначены заранее.

В первом случае вычисления строятся так. На отрезке временной оси, равном периоду Т, в двух крайних точках вычисляются -значения компонент вектора x(.t). Иначе говоря вычисляются JCxinT), Х2{пТ), ...,Xh{nT) и xi({n+l)T), Xk(in+l)T) при п= = 0, 1, 2,...,k. Для каждого п (т. е. на каждом периоде) вычисляется норма вектора, равного разности x((n-f 1)Г) и х(пТ). Далее эта норма сравнивается с заданным порогом 6). Если она меньще порога, интегрирование прекращается, если больше или равна ему, то интегрирование продолжается на следующем ютрезке длины Т, т. е. п увеличивается на единицу, и т. д.

При использовании критерия (7.36) решение о стационарности выносится на основании анализа значений x{t) не в двух точках, разделенных интервалом длины Т, а при сопоставлении двух мае- ШВОВ чисел, отвечающих решению на отрезке [(п-1)Т, пТ] и [пТ, (n-f 1)Г]. Это сопоставление связано с вычислением среднего квадрата разности между двумя частями решения для каждого i, т. е. для каждого компонента вектора x{t). Затем выбирается наи-больший из интегралов (среди всех значений i), и он сравнивается с порогом 62.

Вычисления, связанные с критерием (7.35), конечно, проще, но имеют тот недостаток, что сильнее подвержены влиянию сбоев в ЭВМ: сбой в расчете всего лишь одного значения какой-либо компоненты вектора х(/) может привести к грубой ошибке в оценке стационарности. Выбор чисел 6i и 62 связан с требованиями к точности вычислений и допустимому машинному времени, так как чем меньше 6i и 62, тем дольше будет идти счет. Кроме того, при выборе порогов следует учитывать точность исходных данных цепи, вводимых в ЭВМ: если эта точность невелика, нет смысла делать 61 и 62 очень малыми.

Некоторые способы сокращения машинного времени при расчете неавтономных цепей. Как уже было отмечено, в радиоэлектронных нелинейных цепях расчет стационарного режима через пере-.272



ходный может быть связан с очень большими затратами машинного времени. Поэтому полезно хотя бы коротко рассмотреть некоторые способы сокращения этих затрат.

Один из самых простых способов состоит во введении переменного шага интегрирования. Точнее говоря, переходный процесс (информация о котором, как мы предполагаем, не представляет интереса) считается со сравнительно большим шагом, т. е. невысокой точностью (что и обеспечивает экономию времени), а стационарный отрезок решения - с малымМалость шага интегрирования при расчете стационарного режима должна гарантировать, требуемую точность. Однако для того чтобы этот прием не привел бы к грубым ошибкам, необходимо выполнить некоторые условия. В частности, следует обеспечить устойчивость процесса интегрирования при больших шагах. Нужно позаботиться и о том, чтобы большая ошибка при расчете переходного процесса не привела бы к отличному от искомого стационарному режиму. Последнее проще всего обеспечивается в случае конвергентности и дисси-пативности рассчитываемой цепи.

Второй распространенный способ сокращения машинного времени основан на рассмотрении условия периодичности искомого-решения

--х.. х(0)=х(Г) (7.37)

как некоторого операторного уравнения относительно вектора начальных условий х(0). Из (7.9) следует, что вектор решения в точке t~T, т. е. х(Г), будет

х(Г).= (х, T)dT-i-x(O), (7.38>

причем x{t) есть решение дифференциального уравнения (7-9). Следовательно, на правую часть (7.38) можно смотреть как на некоторый оператор, ставящий в соответствие каждому начальному значению х(0) некоторое значение х(Г). Попытаемся найти такое х(0), что указанный оператор будет переводить его снова в х(0); если теперь рассчитать решение х() на участке [О, Г], исходя из данного х(0), мы можем немедленно получить стационарное периодическое решение.

Для решения (7.37) относительно х(0) можно воспользоваться, например, методом Ньютона. Оказывается, что ньютоновскне-итерации часто приводят к цели быстрее, чем обычное интегрирование через переходный процесс.

Третий способ по своей идее близок к только что рассмотренному. Заметим сначала, что выражение в левых частях критериев стационарности (7.35) и (7.36) для периодического режима обращаются в нуль. Рассмотрим их соответственно при п=0 № п=\ и учтем, что эти выражения являются функциями от началь-

Чтобы отличать отрезки решения друг от друга, можно, например, вычислять левые части критериев стационарности (7.35) или (7.36).



ного значения х(0). Зададимся х(0) и будем вычислять x{t) только на интервале [О, 2Т] каким-либо методом интегрирования, а затем рассчитаем, например, левую часть (7.36). Если неравенство (7.36) не выполнено, выберем новое х(0) и снова рассчитаем x{t) при te[0, 2Т], после чего вновь проверим (7.36), и т. д. Периодическое решение считается найденным, когда (7.36) удовлетворено. Для выбора последующих векторов х(0) может быть ис-яользован какой-либо метод минимизации функции многих переменных, известный из курса вычислительной математики (ясно, что чем меньше левая чйсть (7.36), тем лучше).

Заметим в заключение, что в двух последних методах расчета стационарного режима фактически обходятся без интегрирования ла участке переходного режима.

7.6. ПРИМЕР МАШИННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

Проиллюстрируем сказанное выше на примере машинного исследования нелинейной цепи - транзисторного умножителя частоты (рис. 7.4о). Считаем яонтур в цепи коллектора настроенным на гармонику частоты входного сигнала e(t). Элементы £6, Re, Ек задают режим транзистора по постоянному току: источник £б и резистор Лб - в цепи базы, источник £к - в цепи коллектора.


Рис. 7.4

Индуктивность /,бл предотвращает протекание токов высокой частоты в цепи базового смещения, Сбл предотвращает протекание постоянного тока через нсточник сигнала ввх.

Перед тем как записать уравнения состояния транзисторного умножителя, транзистор заменяют его моделью (эквивалентной схемой). Опуская цепи питания, т. е. считая режим работы транзистора по постоянному току заданным, получаем схему рис. 7.46, в которой принята ключевая модель транзистора (обведена пунктиром): замыкание ключа соответствует открыванию, эмиттерного перехода, размыкание - его закрыванию. Остальные параметры -схемы характеризуют: Сэ - емкость перехода эмиттер - база, цепь 7?рСд -процесс рекомбинации в базе, /к - генератор выходного тока, зависящий от входного воздействия, Е - уровень, при котором переключается ключ К (при превышении £ транзистор открывается). Влиянием выходного напряжения на ток /к пренебрегаем. Это позволяет исключить контур LC из соотношений, описывающих процессы в схеме (уравнений состояния) и считать, что он лишь обеспечивает выделение на выходе схемы нужной гармоники.

Переходя к составлению уравнений состояния, заметим, что в любой момент в схеме фигурирует лишь один реактивный элемент: при разомкнутом

* Исследование проведено автором этой главы совместно с М. И. Аболиц а Е. П. Мальцевой по модели и уравнениям цепи В. Г. Лаврушенкова и И. А. Попова.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93