Главная >  Элементарная теория обратной связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

Отсюда следует, что если р = ри или р = рк - корни уравнений то сопряженные значения рри или р=рк также являются корнями этих уравнений, поскольку при замене р на сопряженное значение р изменяется лишь знак мнимой части уравнения что не имеет значения, если она равна нулю. Таким образом, щ и полюсы функции цепи могут быть либо вещественными, либо составлять сопряженные комплексные пары.

Для более наглядного представления нулей и полюсов пользуются плоскостью комплексной частоты р, изображенной ид рис. 2-4. Пример расположения нулей (кружки) и полюсов (лре-стики) показан на рис. 2-5. Все нули и полюсы либо лежат

Рис. 2-4.

Плоскость р

Ось коэффициентов затухания а или бещестбенных значений р

Плоскость,

П.чоскость частоты р.

комп.тексной

Рис. 2-5. Типичное расположе ние нулей (кружки) и полюсо (крестики) в плоскости коми лексной частоты р.

на оси коэффициентов затухания а (оси вещественных значений р), либо располагаются симметрично относительно этой оси.

В ряде случаев функцию цепи (2-24) целесообразно представить в виде суммы двух функций \ одна из которых представляет собой четную часть Ф(р) и обозначается ЕуФ, другая - нечетную, обозначаемую Od Ф. Для этой цели числитель А (р) и знаменатель В (р) следует представить в виде суммы четной и нечетной частей. Четные части Ey А и Ey В будут содержать только члены с р в четных степенях, а нечетные части Od Л и Odx-; в нечетных степенях. При замене р на -р четные части tv Л и Ev Б не меняют знака, а нечетные Od Л и OdB изменяют знак на обратный. С учетом этого имеем:

I С ) (Р) Д (-Р) (Еу л + Od А) (EvB -OdB)

Ф(Р):

В{р)~ В{р)В i-p) ~ (Ev в + Od В) (Ev В - Od В) EvAEvB - Od OdB , Od А Ev В - Ev Л Od В

(EvB)- -(OdB)

(EvB) -(OdB)

(2-27)

Обозначения Ev и Od заимствованы из литературы [10]. Они являЮ начальными буквами английских слов even - четный и odd - нечетный-



,де fi соответствии с (2-24)

ЕуЛ = ао + а2Р + 4Р* + ---, Od Л = aip 4- а,р 4- ар +..., EvB==&o + M + 4P* + ---, Od Б = 6iP + бзР + бвР +

Знаменатели обоих слагаемых и числитель первого слагаемого павой части (2-27) являются четными функциями р; числитель

RToooro слагаемого - нечетной функцией р, поэтому четная Ev

и нечетная Od части Ф(р) соответственно равны

Ev ЛЕуб -OdAOdS ,г, 90Ч

= - (EvB)-(Od-B?- (2-28)

OdAEvB-EvAOdB 2-29

Oi® -- {EvB)-(OdB) (

В частности, при вещественных частотах ш (при а = 0), величина p = /u) является чисто мнимой, и ЕуФ, содержащая р только в четных степенях, представляет собой вещественную часть, а ОйФ, содержащая р только в нечетных степенях, - мнимую часть Ф(р) = Ф (/ ) Отсюда следует, что на оси вещественных частот .вещественная и мнимая части функции цепи представляют собой соответственно четную и нечетную функции частоты.

Для решения вопроса об устойчивости цепи необходимо рассмотреть ее поведение при отсутствии внешних сил. При этом уравнения контурных токов (2-4) или узловых напряжений (2-8) не имеют правых частей. Очевидным (но тривиальным) решением в этом случае является равенство нулю всех напряжений или, соответственно, токов системы. Из теории алгебраических уравнений известно, что решение, отличное от тривиального, может иметь место лишь при обращении в нуль главного определителя системы.

Д = 0. (2-30)

Предполагая, что элементы реальной системы, т. е. коэффициенты R, L, С п М вещественны, но допуская комплексные зна-адия р, можно решить алгебраическое уравнение (2-30) относи-П° корни этого уравнения р (=1,2,..., п). НИИ f значениях р возможные ненулевые значения реше-ной напряжений в системе), согласно методу комплекс-sev зависеть от времени через множитель ек = Систем вещественная часть р (т. е. а) положительна, с течени является неустойчивой, т. е. токи и напряжения иаоасг неограниченно возрастают. В реальной системе в Q ограничивается в силу влияния ее нелинейных *о Р оставаясь в рамках принятого нами предполо-возп системы, мы должны допустить неограни-растание токов и напряжений, а следовательно, энергии

I*- Д. Артым



и мощности, развивающейся на ее элементах. Это предположение является нереальным, поэтому в дальнейшем будем считать, -.щ физически осуществима только такая функция, которая соот;1ег. ствует цепи, составленной из вещественных элементов, ни о]щ из собственных колебаний которой не имеет амплитуды, неогз. ничейно возрастающей со временем.

В большинстве случаев практики эти самопроизвольно возникающие колебания, даже если их амплитуда в силу нелинейных свойств системы ограничена, являются нежелательными п непь должна быть спроектирована так, чтобы они отсутствовали. Из формул (2-13) - (2-16) видно, что в устойчивой (физически осуществимой) системе входной иммитанс W (Z или Y) и иммигалтс передачи Wr (Zr или У г) не могут иметь нулей при положительных значениях a = Repu.

Иными словами, нули главного определителя устойчивой системы А и, следовательно, нули любого ее иммитанса должны располагаться только в левой полуплоскости, соответствующей отрицательным значениям коэффициента затухания а.

Если два или более решения уравнения (2-30) для А (или У) совпадают, то соответствующие решения для токов (или напряжений) содержат члены вида V* = VAe В этом случае даже при наличии нуля А на оси вещественных частот (lipn ccft = 0) токи и напряжения неограниченно возрастают, т. е. система оказывается неустойчивой. Таким образом, устойчивая цепь не должна иметь кратных нулей на оси вещественных частот.

По отношению к иммитансам передачи, определяемым равенствами (2-14) и (2-16), эти два требования (помимо свойств, вытекающих из вещественности элементов цепи) являются в общем случае единственными критериями устойчивости и, следовательно, физической осуществимости .

Необходимо иметь в виду, что при составлении определителя системы А для определения Z или Zy зажимы, к которым присоединена входная э. д. с. £ считаются замкнутыми (поскольку источник э. д. с. имеет нулевое внутреннее сопротивление), а при составлении А для определения У или У г входные узлы, межДУ которыми включен источник тока /i - разомкнутыми (поскольку источник тока имеет бесконечно большое внутреннее сопроппзде-ние). Следовательно, в первом случае имеется в виду устойчивость короткозамкнутой, а во втором - разомкнутой цепи (со стороны входа).

Исключения иредс1ав.1Я10т различные типы генераторов с са ждением, теорию которых мы не рассматриваем.

Следует отметить, что в равенствах (2-14) и (2-16) иммитансы дачи определены как отношения входного воздействия (напряжения тока /() к реакции на выходе (к току /, или напряжению U.). Эти оир ния используются в [1, 3 и др.]. Если рассматривать передаточную tpi j как отношение реакции на выходе к входному воздействию, то > относить условия устойчивости и физической осуществимости не к а к ее полюсам [10, 11 и др.].



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81