Главная >  Элементарная теория обратной связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

функции возвратной разности F=\-I([j или от возвратнгг отношения Г = - ю Зависимость коэффициентов усиления К и обратной связи й от частоты обычно задается в виде амплитудно-частотной и фазд. частотной характеристик, т. е. в виде зависимостей модуля й фазы этих функций от частоты. Соответственно, представ-тя

Т = К в виде T==\r,Ji:l

= Аё\ можно рассматривать функции I Г i = Л (со) и = В{ш). В результате исключения частоты со из этих функций получим выражение Т в полярных координатах, т. е. амплитудно-фазовую характеристику I Г I = Ф (9), называемую диаграммой Найквиста, который предложил критерий, позвол;!ю-щий по виду функции Ф судить об устойчивости усилителя с обратной связью.

Этот критерий может быть строго получен из сформулированных выше общих условий устойчивости, касающихся расположения нулей главного определителя А. При этом удобно исходить не из возвратного отношения Т, а из возвратной разности F=l-T, поскольку она, согласно (2-38), выражается через главный определитель А


Плоскость p=jui Ось вещественных

значениир

Рис. 2-15. Контур в плоскости комплексной частоты.

- Д(0)

(2-132)

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики представляют собой соответственно вещественную (Л) и мнимую {В) части \nF на оси вещественных частот (при р = /со), т. е.

= Inf = In А - In А( ) = А -Ь /5.

(2ЛЗЗ)

Для установления связи 9 с нулями А в правой полуплоскости целесообразно рассмотреть интеграл по контуру, ограничивающему эту полуплоскость, изображенному на рис. 2-15.

В качестве подынтегральной функции удобно взять производную 9, поскольку ее вычеты соответствуют нулям и полюсам г, от которых зависит устойчивость усилителя

С rfe , е 1 ,

134)



Если F имеет внутри контура (т. е. в правой полуплоскости) точке Ро нуль -го порядка, то можно записать

F{p){p-p,rG{p), (2-135)

£п{р- роГ-G (р) + {р р,Г Щ, (2-136)

g д положительное, целое число, а G (р) - аналитическая, не равная нулю (в окрестности точки ро) функция.

Таким образом, функция 0 (2-137), стоящая под знаком интеграла (2-134), имеет вычет в точке р-=р, равный кратности п нуля функции F. Если имеется несколько нулей, то сумма вычетов в будет равна сумме простых нулей Мц функции F, считая что один нуль -го порядка равноценен п простым нулям.

В случае полюса формулы (2-134) - (2-137) и все относящиеся к ним рассуждения остаются в силе с той разницей, что п оказывается отрицательным числом. Обозначая число полюсов F через Nn, согласно теореме Коши, для интеграла (2-134) получим

f rfp = § у - - 2r.j (.V - N ), (2-138)

где в правой части взят минус, поскольку интегрирование ведется в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (рис. 2-15).

Поскольку правая часть (2-138) представляет собой чисто мнимую величину, в левой части можно рассматривать также только мнимую часть, которая на оси вещественных частот имеет смысл фазы В. В реальных усилителях на весьма высоких частотах р величина j/Cpi мала и при р, стремящемся к бесконечности, /СР и в = 1п/=: 1п (1 - itp) стремятся к нулю, поэтому можно ограничиться интегрированием вдоль оси вещественных частот ш:

7§ 5 Z = 7 $ -§dpB,~B, = 2 (Л -iV,) рад. (2-139)

- со

Таким образом, В - Bi в (2-139) представляет собой нзмене-фазы при интегрировании вдоль оси вещественных частот W -оо до --оо. Каждая единица разности N --N в (2-139) радиан для 5. - Bi, что соответствует одному обороту У>аммы Найквиста для функции F вокруг нулевой точки, ункция В, являющаяся мнимой частью F, представляет со-Дйагп* функцию частоты ш, поэтому достаточно построить рамму Найквиста лишь для полол<ительных частот м, а часть, етствующая отрицательным частотам, будет зеркальным Р жением первой части относительно вещественной оси



плоскости F. Это иллюстрировано рис. 2-16, а, где пунктиром показана часть, соответствующая отрицательным частотам.

По диаграмме Найквиста, построенной только для положительных частот, можно определить суммарное изменение фазы Так, например, диаграмма, изображенная на рис. 2-16, а, не де! лает ни одного оборота вокруг нулевой точки, и при изменении частоты от нуля до бесконечности суммарное изменение фазы В равно нулю. Согласно (2-139), равенство нулю суммарного из.ме-нения фазы свидетельствует о том, что число нулей равно числу полюсов F в правой полуплоскости, а если последние отсутствуют, то усилитель, имеющий такую диаграмму Найквиста, устойчив.

Imf Плоскость F=t-Kfi 6)

ПлоскостьТ=-К


Рис. 2-16. Диаграммы Найквиста устойчивого усилителя для возвратной разности (а) и возвратного отношения (б).

Из вида систем уравнений (2-4)--(2-10), (2-18), (2-23) и др. следует, что определители А и А ) представляют собой полиномы, содержащие члены с р в положительных или отрицательных степенях. Полюсы А и АС) могут быть лишь при р = 0 или при р = со. Практически они отсутствуют в правой полуплоскости \ ограниченной контуром, изображенным на рис. 2-15, поэтому, в соответствии с (2-132), нули F определяются нулями Л, а полюсы - нулями АС). Поскольку F имеет смысл возвратной разности для какой-либо лампы усилителя, то А - значение определителя А при выключенной лампе. Найквист рассматривал одноканальную обратную связь, которая нарушается при выключении любой лампы. Таким образом. А* ) соответствует усилителю без обратной связи, который всегда устойчив, следовательно, АС) не имеет нулей, а г не имеет полюсов в правой полуплоскости и (2-139) для случая одноканальной обратной связи имеет вид

(2-140)

Полюс при р = 0 устраняется с помощью малой полуокружности, Р Р = со, как было отмечено выше, в реальных случаях Afp j = О, а F=



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81