удаления а. Наконец, можно учесть все три ветви а, Ь, f, выводящие из узла 2. Соответствующую цень, имеющую онредели-\лъ Kbf, получим, замкнув ветви а, b я f в исходной схеме. В данном примере получим дерево (рис. 3-4, б) схемы рис. 3-3, а. После замыкания этих трех ветвей схема превращается в один узел, алгебраическое дополнение которого равно единице, т. е.

Таким образом, формула разложения определителя по узлу, соединяющему три ветви а, Ь, f, окончательно может быть записана в виде

= aK + bь + ff + abhab-Vа!Л- Цbi -abf lbf =

= (а + 6 f) Д + а6 Дг, + af Kf + bf А,; + abf babf, (3-3)

где Ад - определитель схемы, образованной путем замыкания ветви а и размыкания ветвей 6 и / в исходной схеме, A j соответствует замыканию ветвей а я b и размыканию ветви f, аь/ - замыканию всех трех ветвей а, 6 и f и т. п.

Иногда используется разложение по ветви. Если а - выбранная ветвь, то определитель равен

А = Ао + аА . (3-4)

Здесь аА объединяет все деревья, содержащие ветвь а. Вынесение а в качестве общего множителя означает, что для вычисления Aq нужно замкнуть в исходной схеме ветвь а накоротко. Определитель Aq включает все остальные деревья, не содержащие ветви а, поэтому для его вычисления необходимо исключить эту ветвь из исходной схемы.

Так, например, если выбрать в схеме рис. 3-3, а ветвь с, то соответствующий определитель А равен полученному ранее в связи с иллюстрацией формулы (3-2) определителю А. Для вычисления определителя Ао по схеме рис. 3-3, а (с удаленной ветвью с) целесообразно применить повторное разложение, например по ветви f, полагая До = Aoo--f Ао/, где Аоо соответствует четырехугольнику abed и равен сумме деревьев (abebededadab), а схема для До/ представляет две последовательно соединенные проводимости, равные соответственно (а-1-d) и (Ь4-е), поэтому /Ао/ = =fia-d){b~\~e).

Для сложных систем, состоящих из блоков, полезны соотношения, связывающие определитель системы с определителями олоков. Для этого достаточно рассмотреть соединения двух бло-поскольку установленные формулы могут быть применимы последовательно ко всем межблочным соединениям. Если два ока имеют один общий узел (рис. 3-5, а), то результирующий ределитель равен произведению определителей блоков. Это сле-- QgT того, что каждое дерево всей цепи включает все узлы их блоков. Следовательно, каждое дерево первого блока вхо-лите ° в всех деревьев второго, т. е. умножается на опреде-ль последнего. Суммируя все деревья первого блока,

умноженные па определитель второго, получим произведение определителей блоков: A = AiA3.

Если два блока имеют два обитих узла (рис. 3-5, б), то опре-делитель всей цепи равен

A = Aix.xA2K.3 + iK.32x.x, (3-5)

где Ajx.x и AiK. 3 - определители первого блока, отделенного от второго, соответственно при разохмкнутых и замкнутых узлах, соединявших этот блок со вторым, Азх. х и А.2К. g - аналогичные определители для второго блока.

Формула (3-5) получается, если произвести разложение определителя всей цепи по паре узлов, соединяющих блоки. Пути внутри первого блока вместе с соответствующими алгебраичес-

Рис. 3-5. Соединение б.чоков с одним (й) или двумя [б) общими узлами.

кими дополнениями этого блока дают определитель первого блока, соответствующий разомкнутым узлам (Ai. х)- Согласно правилу разложения по паре узлов пути внутри первого блока и, следовательно, внешние узлы второго блока нужно считать замкнутыми, поэтому в соответствии с предыдущим правилом, иллюстрированным рис. 3-5, а, учет влияния второго блока сводится к умножению Aix. X на Азк. 3- Подобно этому, рассматривая пути внутри второго блока, придем к произведению Ах. х Aik. <, и в целом - к формуле (3-5).

При расчетах сложных цепей могут возникнуть ошибки из-за неучета каких-либо деревьев или членов разложения. Во избежание этого рекомендуется осуществлять проверку решения, npjJ-водя расчет повторно, иным методом, применяя другие способы разложения и формулы. Иногда можно ограничиться проверкой числа деревьев. Для этого удобно вычислить величину определителя, считая, что величина каждой ветви, а следовательно, и каждого дерева, равна единице, поэтому величина определителя равна числу деревьев. В частности, в полной схеме, где меЖДУ каждой парой узлов включена ветвь, число ветвей равно чйслУ сочетаний из п по два

(3-6)

т = п(п~ 1),

исло деревьев составляет п -\ где п - число узлов. Последнее ртоудно установить, рассматривая определитель ( - 1)-го поряд-для полной схемы из п узлов с ветвями единичной величины.

1 о о

о п о О О п

ООО ... п

(3-7)

где вначале первая строка исходного определителя вычтена из всех остальных строк, затем к первому столбцу прибавлена сумма всех остальных столбцов, после чего первый столбец прибавлен ко всем остальным столбцам.

§ 3-4. Топологические методы вычисления передаточной функции пассивной электрической цепи

Под передаточной функцией обычно понимают отношение тока или напряжения на выходе, измеряемого амперметром или вольтметром, к величине сигнала (э. д. с. или тока), приложенного ко входу цепи. В зависимости от того, что рассматривается на выходе или входе - ток или напряжение - передаточная функция может быть безразмерной (для коэффициентов передачи напряжения или тока), либо иметь размерность сопротивления или проводимости.

В частности, если на входе включен генератор J тока /], а напряжение измеряется на одной из ветвей схемы g, то согласно (2-16) для передаточной функции (рис. 3-6, а) получим *

и, 1 .lo

.All

л

(3-8)

В си.чу определений Т,

Yj обратим друг другу. Определители,

Цепи формуле (3-8) и последующих формулах, относятся ко всей V гшх элементы gi и g, (рис. 3-6, а - г). В отличие от (2-16) штрихи У определителей опущены. \ > v