По смыслу графа и из формулы (4-3) очевидно, что передача графа определяется произведениями ветвей, входящих ц пути и контуры. Выбрав любой из таких путей нлп контуров, можно

02 Хг (Хг) I

Рис. 4-5. Преобразования графа: а - исходный граф; б - расщ,еп.1ение узла х; в, г, д - последовательные этапы инверсии пути Xq, х, Xg, х с сохранением узлов; е, ж, 3 - последовательные этапы инверсии пути Xq, х , х., Xj с сохранением ветвей и расщеплением узлов х. Хз и х.

принять величины всех его ветвей, кроме одной, равными единице, а одну ветвь - равной передаче данного пути или контура. Очевидно, что любой путь или контур отличается от любого ДрЗ гого, но крайней мере, одной ветвью, поэтому, выбирая надле--

яшую величину этой ветви, можно сохранить передачу любого *vth или контура неизменной. Таким образом, значительное число ветвей графа может быть нормировано к единице без ущерба для его общности и передачи.

Общее правило нормирования состоит в том, что источник мысленно замыкается со стоком и в полученном графе выбирается любая последовательность ветвей, составляющая дерево, т. е. касающаяся всех узлов, но не образующая ни одного замкнутого контура. Величины всех ветвей такого дерева можно принять равными единице, а величины остальных ветвей изменить таким образом, чтобы передача любого пути или контура осталась неизменной.

§ 4-3. Инверсии пути или контура

Передача графа представляет собой отношение сигнала узла-стока или другого зависимого узла к сигналу узла-источника. Однако в зависимости от постановки задачи и места приложения внещнего сигнала роли узлов могут меняться. В частности, узел, который ранее был зависимым, может стать источником, и наоборот. При этом направления некоторых ветвей прежнего графа уже не будут соответствовать новым причинно-следственным связям сигналов. Для установления требуемого соответствия необходимо переписать исходные уравнения цепи с учетом изменения ролей переменных, фигурирующих в качестве функций и аргументов. Соответственно изменяются величины и направления ветвей графа, отображающего эти уравнения. Подобная операция носит название инверсии. Можно осуществить инверсию пути или контура.

Если граф состоит из одной ветви, то, как видно из рис. 4-1, б, в, передача ветви t - Упри инверсии просто изменяется на обратную tc,i = Z= 1/Y, узел-источник 1 превращается в сток, а узел-сток 2 -в источник. Подобным же образом при инверсии пути от узла / к узлу k сложного графа узел k превращается

в источник, а передача Г, = -заменяется на обратную Т< =

гчак было отмечено в конце § 4-2, граф должен иметь только один узел-источник, соответствующий точке приложения внешнего сигнала. Поскольку при инверсии появляется новый источник (узел k), прежний источник должен стать зависимым узлом, или стоком, что имеет место в том случае, когда инвертируемый путь начинается от источника (узла /).

Иллюстрируем процесс инверсии, используя граф, изображенный на рис. 4-3, а и 4-5, а, описываемый уравнениями (4-1). Если первое из этих уравнений записать в виде XQ = Xt/tQi, то это будет означать, что узел Xi стал источником, узел х - зависимым узлом, а вместо ветви tn возникла ветвь io=l/oi- В данном случае гп rh \ рассматриваемого уравнения (как и из вида самого Рафа) следует, что при инверсии выбранного пути (ветви 4,)

получаем 701 =--- = y-. Записав второе уравнение (4-1) в виде-

I t:,2

Х{]--Хч Xiх$, (4-4\

i-Oa t-Q2

вместо tgt можно инвертировать ветвь foa- При такой записи этог о уравнения узловой сигнал х перестает фигурировать как функ ция (следствие) и становится только аргументом (причиной поя в ления других сигналов). По существу уравнение (4-4) определяет теперь узловой сигнал х как функцию остальных узловых сигналов. Соответственно граф (рис. 4-5, а) приобретает вид рис. 4-5, й, где вместо узла Хо источником становится узел х.,.

Нетрудно усмотреть правило инверсии ветви между источником Хо и зависимым узлом х. Направление и величина ее становятся обратными (вместо os получаем /-20= l/toa), а все ветви, входившг;е в зависимый узел Ха, входят после ииверсии в узел прежнего источника Хо, причем величина их /1.3 и делится на величину инвертируемой ветви 02, а знак изменяется на обратный. Вычисляя передачу Ta<i = xjxu для графа рис. 4-5, а и Т.20 -ХцХз для рис. 4-5, в, получим

J u2- - ] f ft

Представив в третьем уравнении (4-1) Ха как функцию остальных переменных или пользуясь сформулированным выше правилом, можно инвертировать ветвь от нового источника к зависимому узлу Х3. При этом граф рис. 4-5, в приобретает вид рис. 4-5, г. Непосредственная проверка вычислением показывает, что и в данном случае передача от узла х.2 к узлу Хз изменяется на обратную Тзз=:1/Тз2. Аналогичным образом можно инвертировать ветвь /,4 (рис. 4-5, д), в результате чего достигается инверсия пути 1о4ч4ъ исходного графа (рис. 4-5, а), причем источник и сток меняются местами. Пользуясь формулой Мэзона (4-3), нетрудно убедиться, что передача графа рис. 4-5, д обратна передаче Toi графа рис. 4-5, а, данной выражением (4-2):

1 t,.

1 33 \ 1

гр izi 02 34 \ 23 23 / А2

40 = -

1 ( 12 13 14 Г 32 i / 1

i-01--~Ф---г -f--h -7---

i 02 23-02 34 l 02 v 23

Ес.чи выбрать в качестве функции не х , а х, получим пггверсшо ветви ti2, однако .это не имеет практического смысла, поскольку iipn зто5! сигнал Xi будет характеризоваться двумя уравнениями и соответствовать дту различным узлам, а граф будет неправильным, поскольку получим два узту источпика (узел Xg превращается в источник и сохраняется источнпк Хс,)-Это подтверждает необходимость выполнения требования о том, чтобы инвертируемый путь начинался из источника.