Главная >  Элементарная теория обратной связи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

распространить и на системы, содержащие нелинейные и переменные параметры, если ввести соответствующие эквивалентные характеристики и коэффициенты [12, 18, 19]. Обычно системы автоматического регулирования, особенно содержащие электромеханические элементы, обладают узкой полосой пропускания или большой инерционностью, что в переводе на терминологию электронных усилителей означает чрезвычайно низкое качество. Так, например, полоса пропускания мощного электромеханического устройства может составлять единицы или доли герц, а полоса пропускания лампового усилителядо сотен мегагерц. Из теории Боде (в части оптимального числа каскадов) следует, что путем введения в тракт регулирования электронных ламп теоретически можно обеспечить устойчивость при почти неограниченной глубине обратной связи в полосе частот упомянутого электромеханического устройства, если его с достаточной точностью можно считать линейным элементом минимально-фазового типа.

Для дбеспечения наибольшей глубины обратной связи и максимальной устойчивости усилителя фазовый сдвиг в петле обратной связи при прочих равных условиях желательно иметь наименьшим. Поэтому использование неминимально-фазовых корректирующих четырехполюсных цепей в усилителе с обратной связью недопустимо. Такие цепи содержат (или могут быть представлены содержащими) звенья, пропускающие все частоты (фазовые звенья), не влияющие на амплитудно-частотную характеристику, но увеличивающие фазовый сдвиг [1, 3].

Общие методы синтеза усилителей с обратной связью, предложенные Боде fl], основаны на использовании рассматриваемых в- последующих параграфах теорем о связи вещественной и мнимой составляютдих функции цепн, применяемых к логарифмической передаточной функции в [см., например, формулу (1-32)]. Вещественной частью этой функции является затухание А (или усиление), а мнимой - фаза В. Для установления однозначной зависисимости фазы от затухания цепь должна быть минимально-фазовой, поскольку наличие фазовых звеньев, являющееся отличительным признаком неминимально-фазовых цепей, приводит к изменению фазы без изменения затухания. Математическим критерием минимально-фазовой цепи является отсутствие полюсов передаточной функции в поавой полуплоскости комплексной частоты (см. § 2-2).

Рассматриваемые в дальнейшем интегральные соотношения, связывающие вещественную и мнимую составляющие функции цепи, могут быть получены путем вычисления интегралов по кон-УРУ, лежащему в правой полуплоскости комплексного переменного, включающему полуокружность, радиус которой устремляется к бесконечности, и ось вещественных частот (рис. 5-1). При вычислениях предполагается, что особые точки внутри контура отсутствуют, вследствие чего интеграл, согласно теореме Коши,



равен нулю. В действительности нас интересуют составляю1цпе функции при вещественных частотах, входящие в ту часть контурного интеграла, которая берется вдоль оси вещественных ча-стот, поэтому должно быть известно значение интеграла по окруж-ности большого радиуса. Последнее нетрудно определить, если

подынтегральное выражение при устремлении частоты р к бесконечности стремится к нулю как

Ось вещественных частот ш

где n 1.

Плоскость р

В частности, если обобщенная функция Ф является аналитической на бесконечной частоте и разлагается в ряд

Ось веществен-

ных значений р


-1 (го)

- 3 (со)

(5-1)

или на оси вещественных частот при р = /са

-1 (со)

-З(оо)

(5-2)

Рис. 5-1. Контур интегрирования в плоскости комплексной частоты р.

ТО этому требованию удовлетворяет (Ф- Лоо).

Если рассматривать разложение (5-1) как ряд Маклорена

для переменной (yj, то коэффициенты рядов (5-1) и (5-2) могут

быть найдены по формулам :

А-п (со) - ~Г

-п (со) -


- = о

- =.0

(5-3)

(5-4)

Знаки коэффициентов этого ряда выбраны с таким расчетом, чтооы разложение (5-2) представляло собой сумму рядов для вещественной и мнимой составляющих с положительными знаками.

Поскольку значение производной аналитической функции комплексного переменного не зависит от направления изменения аргумента, здесь взяты производные вдоль осп ш.



либо путем вычисления предельных значений.

оо = (Фк=оо;

5 1 = [(Ф - Лео) (- Н]со =

Б- 3 (со) -

А-2 (оо) =

ф-л.-/

-1{оэ) -2(00)

(-yV)

(5-5) (5-6)

(5-7) (5-8)

и т. д. J,

При доказательстве теорем допускаются особые точки функции цепи на бесконечной частоте (например, логарифмические), однако полюс должен быть исключен, т. е. при р, стремящемся к бесконечности, Ф/р должно стремиться к нулю. При наличии особой точки конечное значение интеграла по дуге большого радиуса достигается благодаря тому, что Ф рассматривается в совокупности с другой функцией, и подынтегральное выражение в целог стремится к нулю на бесконечной частоте по крайней мере как

При конечных значениях вещественных частот, например, при р = Рд = /Юд, допускаются особые точки, исключаемые из контура интегрирования с помощью малых полуокружностей, радиусы которых стремятся к нулю (рис. 5-1).

Интеграл по каждой из этих полуокружностей должен обращаться в нуль, поэтому необходимо, чтобы произведение типа (Р - Ра)Ф стремилось к нулю при р, стремящемся к Ра- Этим исключаются полюсы на оси вещественных частот, характерные для неминимально-реактивных функций, но допускаются точки разветвления и логарифмические особые точки (в частности, допускаются нули и полюсы коэффициента передачи на оси вещественных частот, если рассматривается функция передачи в).

Если функция Ф является аналитической на нулевой частоте, то важную роль играют коэффициенты разложения Ф в ряд Мак-лорена при р = /ш = 0. Этот ряд мы запишем в виде:

Ф = Ло -f Б1 (0)Р - Ла (О)р - Вз (о)р -1-..., Или на оси вещественных частот, при p = jia

Ф = Ло-1-уБ1 (0)Ш-1-Ла

1 /йг ф\

3 (0)

1 (с1>Ф\

Вп (0) - -.

jj = 0

(5-9)

(5-10)

(5-11) (5-12)

Помимо указанных выше ограничений, вытекающих из усло-пии минимальной реактивности или минимальной фазы функции - A-]-jB, мы будем пользоваться наиболее общим свойством



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81