Главная
>
Элементарная теория обратной связи распространить и на системы, содержащие нелинейные и переменные параметры, если ввести соответствующие эквивалентные характеристики и коэффициенты [12, 18, 19]. Обычно системы автоматического регулирования, особенно содержащие электромеханические элементы, обладают узкой полосой пропускания или большой инерционностью, что в переводе на терминологию электронных усилителей означает чрезвычайно низкое качество. Так, например, полоса пропускания мощного электромеханического устройства может составлять единицы или доли герц, а полоса пропускания лампового усилителядо сотен мегагерц. Из теории Боде (в части оптимального числа каскадов) следует, что путем введения в тракт регулирования электронных ламп теоретически можно обеспечить устойчивость при почти неограниченной глубине обратной связи в полосе частот упомянутого электромеханического устройства, если его с достаточной точностью можно считать линейным элементом минимально-фазового типа. Для дбеспечения наибольшей глубины обратной связи и максимальной устойчивости усилителя фазовый сдвиг в петле обратной связи при прочих равных условиях желательно иметь наименьшим. Поэтому использование неминимально-фазовых корректирующих четырехполюсных цепей в усилителе с обратной связью недопустимо. Такие цепи содержат (или могут быть представлены содержащими) звенья, пропускающие все частоты (фазовые звенья), не влияющие на амплитудно-частотную характеристику, но увеличивающие фазовый сдвиг [1, 3]. Общие методы синтеза усилителей с обратной связью, предложенные Боде fl], основаны на использовании рассматриваемых в- последующих параграфах теорем о связи вещественной и мнимой составляютдих функции цепн, применяемых к логарифмической передаточной функции в [см., например, формулу (1-32)]. Вещественной частью этой функции является затухание А (или усиление), а мнимой - фаза В. Для установления однозначной зависисимости фазы от затухания цепь должна быть минимально-фазовой, поскольку наличие фазовых звеньев, являющееся отличительным признаком неминимально-фазовых цепей, приводит к изменению фазы без изменения затухания. Математическим критерием минимально-фазовой цепи является отсутствие полюсов передаточной функции в поавой полуплоскости комплексной частоты (см. § 2-2). Рассматриваемые в дальнейшем интегральные соотношения, связывающие вещественную и мнимую составляющие функции цепи, могут быть получены путем вычисления интегралов по кон-УРУ, лежащему в правой полуплоскости комплексного переменного, включающему полуокружность, радиус которой устремляется к бесконечности, и ось вещественных частот (рис. 5-1). При вычислениях предполагается, что особые точки внутри контура отсутствуют, вследствие чего интеграл, согласно теореме Коши, равен нулю. В действительности нас интересуют составляю1цпе функции при вещественных частотах, входящие в ту часть контурного интеграла, которая берется вдоль оси вещественных ча-стот, поэтому должно быть известно значение интеграла по окруж-ности большого радиуса. Последнее нетрудно определить, если подынтегральное выражение при устремлении частоты р к бесконечности стремится к нулю как Ось вещественных частот ш где n 1. Плоскость р В частности, если обобщенная функция Ф является аналитической на бесконечной частоте и разлагается в ряд
-1 (го) - 3 (со) (5-1) или на оси вещественных частот при р = /са -1 (со) -З(оо) (5-2) Рис. 5-1. Контур интегрирования в плоскости комплексной частоты р. ТО этому требованию удовлетворяет (Ф- Лоо). Если рассматривать разложение (5-1) как ряд Маклорена для переменной (yj, то коэффициенты рядов (5-1) и (5-2) могут быть найдены по формулам : А-п (со) - ~Г -п (со) - - = о - =.0 (5-3) (5-4) Знаки коэффициентов этого ряда выбраны с таким расчетом, чтооы разложение (5-2) представляло собой сумму рядов для вещественной и мнимой составляющих с положительными знаками. Поскольку значение производной аналитической функции комплексного переменного не зависит от направления изменения аргумента, здесь взяты производные вдоль осп ш. либо путем вычисления предельных значений. оо = (Фк=оо; 5 1 = [(Ф - Лео) (- Н]со = Б- 3 (со) - А-2 (оо) = ф-л.-/ -1{оэ) -2(00) (-yV) (5-5) (5-6) (5-7) (5-8) и т. д. J, При доказательстве теорем допускаются особые точки функции цепи на бесконечной частоте (например, логарифмические), однако полюс должен быть исключен, т. е. при р, стремящемся к бесконечности, Ф/р должно стремиться к нулю. При наличии особой точки конечное значение интеграла по дуге большого радиуса достигается благодаря тому, что Ф рассматривается в совокупности с другой функцией, и подынтегральное выражение в целог стремится к нулю на бесконечной частоте по крайней мере как При конечных значениях вещественных частот, например, при р = Рд = /Юд, допускаются особые точки, исключаемые из контура интегрирования с помощью малых полуокружностей, радиусы которых стремятся к нулю (рис. 5-1). Интеграл по каждой из этих полуокружностей должен обращаться в нуль, поэтому необходимо, чтобы произведение типа (Р - Ра)Ф стремилось к нулю при р, стремящемся к Ра- Этим исключаются полюсы на оси вещественных частот, характерные для неминимально-реактивных функций, но допускаются точки разветвления и логарифмические особые точки (в частности, допускаются нули и полюсы коэффициента передачи на оси вещественных частот, если рассматривается функция передачи в). Если функция Ф является аналитической на нулевой частоте, то важную роль играют коэффициенты разложения Ф в ряд Мак-лорена при р = /ш = 0. Этот ряд мы запишем в виде: Ф = Ло -f Б1 (0)Р - Ла (О)р - Вз (о)р -1-..., Или на оси вещественных частот, при p = jia Ф = Ло-1-уБ1 (0)Ш-1-Ла 1 /йг ф\ 3 (0) 1 (с1>Ф\ Вп (0) - -. jj = 0 (5-9) (5-10) (5-11) (5-12) Помимо указанных выше ограничений, вытекающих из усло-пии минимальной реактивности или минимальной фазы функции - A-]-jB, мы будем пользоваться наиболее общим свойством
|