функции цепи, заключающемся в том, что ее вещественная составляющая А является четной, а мнимая В -нечетной функц(ен частоты. В то же время, для вычисления контурного нигегра.м наличие нулей Ф в правой полуплоскости не имеет зиачекич поэтому требование устойчивости и, соответственно, пассивносл!! цепи, вообще говоря, на функцию Ф не накладывается.

Таким образом, функция Ф должна отвечать следуюищм тое-бованиям.

1. Вещественная составляющая Л является четной, а м!!има,>( В - - нечетной функцией частоты.

2. В правой полуплоскости не должно б.ыть особых точек.

3. На оси вещественных частот не должно быть полюсов.

В особых точках при конечных значениях частот р = у; произведения (р - ра) Ф должны стремиться к нулю при р, стре

мящемся к Ра, а при р, стремящемся к бесконечности, - Ф

должно стремиться к нулю.

К числу функций, отвечающих этим требованиям, помимо функции передачи в минимально-фазового типа, относятся вход ные проводимости и сопротивления пассивных цепей минимал1Ь-но-реактивного типа, т. е. не имеющие полюсов на оси вещественных частот, а также коэффициент передачи или пропорциональное ему сопротивление передачи минимально-фазовой цени при условии отсутствия полюсов на оси вещественных частот.

Если рассматриваемая цепь не является пассивной, но устойчива, например в режиме короткого замыкания входа, то ее определитель Д и, согласно (2-13) и (2-14), входное сопротивление Z и сопротивление передачи Zj- не имеют нулей в правой полуплоскости. Поэтому обратные им величины Y = y или =р--

не имеют полюсов в правой полуплоскости. Если они не имеют полюсов и на оси вещественных частот, то удовлетворяют сформулированным выше требованиям, и связь их вещественных и мнимых составляющих может быть установлена. Наоборот, если цепь устойчива в режиме разомкнутого входа, то отсутствуют нули определителя Д и, согласно (2-15) и (2-16), - нули У я У г,

поэтому при отсутствии у Z = 4 и v-r полюсов на оси ве-

/ г .J, li

щественных частот они также удовлетворяют требуемым условиям. Этим условиям удовлетворяет и логарифм любой входной функции цепи (в том числе неминимально-реактивной), не имеющей полюсов в правой полуплоскости (например, пассивного двухполюсника). Таким образом, во многих случаях при рассмотрении устойчивой физически осуществимой пассивной или активной цепей можно обойти ограничения, накладываемые на располо с-ние полюсов и особых точек, и воспользоваться теоремаьш о связ!1 вещественной и мнимой составляющих функции цепи. Целесооо-разно также рассматривать минимально-реактивную или минимал-

но-фазовую часть функции цепи, учитывая отдельно влияние особых точек в правой полуплоскости и полюсов на оси вещественных частот.

Сформулированные выше требования к функции Ф являются весьма общими, класс функций, отвечающих им, широк и далеко не ограничивается перечисленными выше функциями, названными в качестве примеров. При дальнейшем рассмотрении мы будем считать, что функция Ф отвечает этим требованиям.

§ 5-2. Интеграл вещественной составляющей функиии иепи

Если функция цепи Ф является аналитической на бесконечной частоте и разлагается в ряд (5-1), условие равенства нулю интеграла по замкнутому контуру (рис. 5-1)

;(Ф-Л )йгр = 0 (5-13)

можно-представить в виде суммы интеграла вдоль оси вещественных частот и интеграла по дуге большого радиуса рсхз в направлении, указанном стрелкой

S (Ф -Л> )/йг ) + ф(ФЛоо)сгр = 0. (5-13а)

Подставляя во второй интеграл значение Ф, взятое из (5-1), и, учитывая, что интеграл от 1/р по дуге большого радиуса при Роо стремится к нулю, если п1, а при п=1

+ 1

для главного значения первого интеграла получим

5 (Ф -Лоо)/йг ) = -/иВцоо). (5-15)

- со

Разбивая этот интеграл на два соответственно в пределах от - оо до О и от О до -]-оо и учитывая, что вещественная часть Ф (т- е. А) является четной, а мнимая Б -нечетной функцией

Напомним, что главным значением интеграла с бесконечными преде-

лами является lim \ f (х) dx (ест он существует).

Аоо я

6. А. д. Артым

частоты, после несложных преобразований, пользуясь разложением (5-2), получим

( (Л - Лоо) fifca = - - В

Л = КеФ = Ло

-1 (СО),

(00) I -4 (ОЭ)

(5-16)

(5-17)

а В л (ОС) определяется формулой (5-4) или (5-6).

Для иллюстрации справедливости этого соотношения применим его к цепочке, изображенной на рис. 5-2, сопротивление которой есть

° (5-18)

Z = -

1 -f У СоРо

Полагая Ф = Е, согласно (5-5) и (5-6) найдем д Ро

1 (СО) =

1 +У СоРо

Ро (-; )

= 0,

4 -f >с /?

(5-19) (5-20)

т. е. интеграл (5-16) равен В справедливости этого нетрудно убедиться путем непосредственного интегрирования вещественной части Z, равной R =

со со

Для неминимально-реактивных двухполюсных цепей, характеризуемых наличием полюсов на оси вещественных частот, формула

Рис. 5-2. Схема двухполюсной цепи CoRo-

Рис. 5-3. Схемы пемини.ма;;ьио-реакгп:5-ных цепей.

(5-16) несправедлива. Так, например, ее нельзя применять к цепям, изображенным на 5-3, а и б, поскольку для первой из них Z обращается в бесконечность при ю = О, а для второй - на частоте антирезонанса входного контура.