(5-1) прн 1/р, т. е. через вычет этой функции на бесконечности - В 1(оо). Для того чтобы получить значение фазы В а на произвольной вещественной частоте сй = сйа, в зависимости от затухания А, заданного во всем спектре частот са, значение 5 должно быть вычетом подынтегральной функции в полюсе р = Исходя из того, что эта функция должна удовлетворять наиболее общим требованиям, предъявляемым к функциям цепи, будем считать, что ее полюсы составляют нары комплексно сопряженных величии. Таким образом, функция, подлежаи;ая интегрированию по контуру рис. 5-1, должна иметь вид

(p - i >a){P-\ria) P-Tl

в--Л/ J 1 \ .

Здесь в = в(р) - исследуемая функция передачи, при р = /ш равная 6 = Л-]-/В; Л-затухание, а В - фаза.

На положительной полуоси вещественных частот (при р = /и) функция Ф имеет полюс при ) = ) , вычет в котором (коэффи-

циент при 1 выражается через искомое значение фазы 5

и частоту сйд

(5-35)

Поскольку функция 9 отвечает требованиям, сформулированным в § 5-1, функция Ф (5-34) отвечает этим требованиям, за исключением наличия полюсов в точках р = ±/сйд. Внутри контура интегрирования, изображенного на рис. 5-1, функция Ф не имеет особых точек, следовательно, интеграл от нее по этому контуру равен нулю

4 dp = ( =4 ~~] dp = 0. (5-36)

Благодаря наличию в знаменателе слагаемого р интеграл по дуге большого радиуса при рсю стремится к нулю, что позволяет вместо (5-36) ограничиться главным значением интеграла вдоль оси са и малыми полуокружностями вокруг точек р = ±/ й-Вещественная часть функции Re (0 - Л ) = Л - Л в этих точках обраш.ается в нуль и, следовательно, соответствующая часть подынтегральной функции не имеет полюсов на оси ю, поэтому интеграл может быть взят в пределах от ca = - оо до ca = ---Для мнимой части Im (в - Аа) = ]В необходимо выделить интегралы по малым полуокружностям. При радиусе полуокружностей е, стремящемся к нулю, числитель подынтегрального выражения можно считать равным соответственно -\- jB (в окрестно-

ехи точки p - j a) или, в силу нечетной симметрии мнимой составляющей, -jBa (в окрестности точки р = - / ) ).

- ((о e

оо ш 4- s

Произведя во втором и четвертом интегралах замену переменной интегрирования са на - са и учитывая нечетную симметрию мнимой составляющей B(ca) = -В(-са), нетрудно убедиться, что эти интегралы равны, но противоположны по знаку седьмому и пятому интегралам, т. е. сумма этих интегралов равна нулю. Что касается третьего и шестого интегралов по полуокружностям с центрами в точках р = - /са и p = /(a , то их значения определяются половинами вычетов подынтегральных функций в этих точках. Введя для третьего интеграла замену переменной р-]- ja= = ее-/*, а для шестого р - /№ = ce*, нетрудно получить при еО в первом случае

и во втором случае

Учитывая, что первый интеграл в (5-37) в силу четности подынтегральной функции можно заменить удвоенным значением интеграла в пределах от нуля до бесконечности, выражение (5-37) можно окончательно записать в виде:

Таким образом, фаза Ва для данной частоты ia=:(a выражается через интеграл от затухания А, заданного во всем спектре вещественных положительных частот са.

Это соотношение позволяет сделать некоторые общие заключения относительно характера связи фазы Б с затуханием А. Так, например, если в некотором диапазоне частот от нуля до oj включающем точку затухание А постоянно, т. е. А-л равно нулю, то пределы интегрирования в (5-40) следует взять от сйв до бесконечности. Поскольку частота са под интегралом изменяется в этих пределах, то при ш-ш можно пренебречь в знаменателе слагаемым ч>1 по сравнению ш-*. В этом случае фаза Ва линейно зависит от частоты на которой она измеряется:

Ba = ~\do = k,0a,

(5-41)

где ki-постоянная величина.

Если подразумевать под са любую частоту са, то равенство (5-41) выражает фазо-частотную характеристику B - ktOi, которая

дб ]рад

рад

а) А

Рис. 5-6. Фазовые и частотные характеристики: а - линейное изменение фазы В в области равномерной частотной характеристики Л = Лд на низких частотах; б - гиперболическое изменение фазы В в области равномерной частотной характеристики А - Аа на высоких частотах.

В определенных пределах (при сасад) является линейной (рис. 5-6, а). Такое положение имеет место, в частности, для широкополосных усилителей с равномерным усилением в области частот, вплоть до частоты среза = При са фазо-частотная характеристика таких усилителей линейна. Для усилителя с анодной нагрузкой, состоящей из сопротивления R, шунтированного паразитной емкостью С, или для интегрирующей цепочки

RC (рис. 5-7, а) фаза коэффициента передачи /С = равна В =

= - arctgсаРС. На частотах -jq арктангенс можно заменить

его аргументом, и фаза оказывается линейно зависящей от частоты.

Если значительное изменение затухания имеет место только в области низких частот от нуля до сац, то в формуле (5-40)