можно заменить верхний предел величиной ю . Для частот са, лежащих значительно выше частоты ca , в знаменателе можно пренебречь са по сравнению с ш%, и для фазы Ва получим

Ba-[4do, =--l[{A-Aa)do, = ~, (5-42)

где - постоянная величина.

В данном случае фаза Ва обратно пропорциональна частоте са (рис. 5-6, б). Это справедливо, например, для фильтра верхних частот, имеющего значительную неравномерность затухания лишь в области низших частот. Простейшей цепью, иллюстрирующей соотношение (5-42), является . \ дифференцирующая цепочка RC, Ц изображенная на рис. 5-7, б. i i i Затухание, вносимое этой цепоч- У U кой. существенно лишь на от- Т-1-1 I-1-J

носитедьно низких частотах, г, т

Рис. 5-7. Схемы простейших цепей,

а на высоких оно равномерно, имеющие характеристики, соответ-

поскольку коэффициент пере- ствующие: в -рис. 5-6, а; б-рис.

TJ- 4 5-6, б. дачи А = 7р по модулю близок

к единице. Фаза К равна В = arctg (jj. При арктан-

генс можно заменить его аргументом и имеет место обратная пропорциональность В и са.

Если затухание А постоянно в некоторой области частот от са до сОв, то внутри этой полосы на достаточном удалении от ее краев справедливы обе формулы (5-41) и (5-42). Считая, что в качестве ca может быть взята любая частота са в указанных пределах, получим:

B = V -. (5-43)

В большинстве случаев затухание и фаза рассматриваются в зависимости от частоты, выраженной в логарифмическом масштабе:

v = In- или u) = ca e\ (5-44)

При этом выражение (5-40) может быть записано в виде

-fco -foo

= 1 \ -i S (5-45)

- со - оо

Более удобная форма этого интеграла получается, если выразить Ва через интеграл от функции, содержащей производную dA/dv. Для этой цели разобьем пределы интегрирования на две части,

соответственно для положительных и отрицательных значений v Производя интегрирование по частям, полагая u = A~Aaii

~shT учитывая, что интеграл от 1/shv равен u = Inth~=:-= -Incth- [20], для vsO имеем

I [ * = Т - -4.) I т]Г + Т Т (5-46)

При vsO удобно ввести неременную интегрирования v=: - которая положительна в пределах интегрирования (v = - v = ] v ):

71 J sh v 71 J sh v

- CO CO

= i{[A (V) - Ag] In th + In cth =

(Л-Л,)1пШ]7 + 1 jIncth:Jdv. (5-47)

Поскольку функция A вблизи точки V = о, т. е., согласно (5-44), при (о = (Оа не имеет особенностей, она может быть разложена в ряд Маклорена

где (Л), о = (Л) . = Л , поэтому разность (А - Аа) при vО с точностью до малых величин высших порядков пропорциональна V. С другой стороны, при vO th--, поэтому произведение (Л - Ла) In th rh-j, входящее в первые слагаемые правых частей (5-46) и (5-47), при v О с точностью до малых величин высших порядков пропорционально v In у vj = v [1п v-

- In (±2)]. Применяя правило Лопиталя, можно убедиться, что предел этого выражения при vO равен нулю.

Записывая Inthy в виде [1п (1 - е~) - In (1--е)], нетрудно

видеть, что при voo (или -- оо) с точностью до малых

высших порядков In th = - 2е = - 2 .

Согласно общим требованиям, сформулированным в § 5-1, отношение в/р, а следовательно, и Л сй при ca-s-co должно стремиться к нулю, поэтому первые слагаемые в правых частях выражений (5-46) и (5-47) и на бесконечных пределах обраищются в нуль

Таким образом, суммируя выражения (5-46) и (5-47), для фазы вместо (5-45) получим

Incth

(5-48)

Учитывая, что cth= ггг > (5-44), нетрудно видеть, под знаком интеграла, быть записана также в виде:

и заменяя е = -, согласно

что логарифмическая функция, стоящая может

Incth

==1П

(5-49) в-

График этой функции приведен на рис. 5-8.

Предварительное рассмотрение формулы (5-48) позволяет сделать ряд выводов.

для данной ча-V = 0) зависит

1. Фаза В стоты (или

График функции веса.

крутизны харак-dA

затухания -г-, заданной

во всем диапазоне частот.

от поведения теристики

2. Величина фазы прямо пропорциональна величине крутизны характеристики затухания при логарифмическом масштабе затухания и частоты. Так, например, если в формуле (5-48) увели-

чить dAjd на всех частотах в 2 раза, то Ва также увеличится в два раза.

3. Поскольку функция (5-49) (рис. 5-8) имеет наибольшее значение вблизи v = 0 (т. е. при ca = m ), величина dA/dv в этой области больше всего влияет на значение фазы В а. Иными словами, фаза, соответствующая частоте в наибольшей степени зависит от крутизны характеристики затухания вблизи этой частоты.

Функцию (5-49) можно рассматривать как частотно-зависимый коэффициент, определяющий влияние крутизны характеристики затухания при различных частотах на фазу при данной частоте сй. Таким образом, Incth у играет роль функции веса для dA/d.

Для иллюстрации формул (5-48) и (5-49) рассмотрим случай, когда затухание А имеет постоянное значение Ло в полосе частот от О до (й(., а в полосе частот от Зс до оо - значение Лоэ, на один непер большее, чем Ло, иными словами, на частоте среза имеет место скачок затухания на 1 непер (рис. 5-9). В этом случае интеграл (5-48) во всем диапазоне частот будет равен нулю.